几种特殊的二叉树

本文介绍了几种常见的树型数据结构,包括二叉排序树、平衡二叉排序树(AVL树)、B树、B+树及红黑树等。详细阐述了每种树的基本定义及其特性,有助于理解不同树型数据结构的应用场景。

1、二叉排序树

二叉排序树或者是一棵空树,或者是具有如下性质的二叉树。
①若它的左子树非空,则左子树上所有结点的值均小于根结点的值;
②若它的右子树非空,则右子树上所有结点的值均大于(或大于等于)根结点的值。
③它的左右子树也分别是二叉排序树。

2、平衡二叉排序树(AVL树)

一棵平衡二叉排序树或者是具有下列性质的二叉排序树:
①左子树与右子树的高度之差的绝对值小于等于1;
②左子树和右子树也是平衡二叉排序树。

3、B树

一棵B树是一棵平衡的m路查找树,它或者是空树,或者是满足如下性质的树:
①树中每个结点最多有m棵子树;
②根结点至少有两棵子树;
③除根结点之外的所有非叶结点至少有「m/2棵子树。
④所有叶结点出现在同一层上,并且不含信息,通常称为失败结点。失败结点为虚结点,在B树中并不存在,指向它们的指针为空指针。引入失败结点是为了便于分析B树的查找性能。

4、B+树

B树是一种平衡的m路查找树,是组织和维护外存文件系统的有效数据结构。
B+树是B树的一种变形树,在文件系统中应用的更为广泛。

5、红黑树

一棵红黑树是满足下面红黑性质的二叉搜索树:
①每个结点或是红色的,或是黑色的;
②根结点是黑色的;
③每个叶结点(NIL)是黑色的;
④如果一个结点是红色的,则它的两个子结点都是黑色的;
⑤对每个结点,从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上,均包含相同数目的黑色结点。

### 几种典型二叉树的定义与特点 #### 1. 满二叉树 (Full Binary Tree) 满二叉树是指除最后一层外,每一层上的所有结点都有两个子结点的二叉树。换句话说,满二叉树中的每一个内部节点都恰好有两个孩子节点,并且所有的叶子节点都在同一层次上[^1]。 - 特征: - 所有的叶节点均位于最底层。 - 如果高度为 \( h \),则总共有 \( 2^h - 1 \) 个节点[^1]。 ```python class TreeNode: def __init__(self, value=0, left=None, right=None): self.value = value self.left = left self.right = right def is_full_binary_tree(root): if root is None: return True if root.left is None and root.right is None: return True if root.left is not None and root.right is not None: return is_full_binary_tree(root.left) and is_full_binary_tree(root.right) return False ``` --- #### 2. 完全二叉树 (Complete Binary Tree) 完全二叉树是一种特殊二叉树,除了最后一层之外,其余各层都被填满,并且最后一层的所有节点都集中在左侧[^1]。 - 特征: - 节点数为 \( n \) 的完全二叉树的高度大约为 \( \lfloor \log_2(n+1) \rfloor \)[^2]。 - 可以通过数组轻松表示完全二叉树,其中父节点索引为 \( i \),左孩子的索引为 \( 2i + 1 \),右孩子的索引为 \( 2i + 2 \)[^3]。 ```python from collections import deque def is_complete_binary_tree(root): if not root: return True queue = deque([root]) end_found = False while queue: node = queue.popleft() if node: if end_found: return False queue.append(node.left) queue.append(node.right) else: end_found = True return True ``` --- #### 3. 二叉搜索树 (Binary Search Tree, BST) 二叉搜索树是一种满足特定条件的二叉树:对于任意一个节点,其左子树中所有节点的值小于当前节点的值,而右子树中所有节点的值大于当前节点的值[^1]。 - 特征: - 支持高效的查找、插入和删除操作,时间复杂度通常为 \( O(\log n) \),但在退化情况下可能达到 \( O(n) \)[^2]。 - 中序遍历的结果是一个升序序列。 ```python class TreeNode: def __init__(self, key): self.key = key self.left = None self.right = None def insert_into_bst(root, key): if not root: return TreeNode(key) if key < root.key: root.left = insert_into_bst(root.left, key) elif key > root.key: root.right = insert_into_bst(root.right, key) return root ``` --- #### 4. 平衡二叉树 (Balanced Binary Tree) 平衡二叉树是指任何节点的两棵子树的高度差不超过1的二叉树。AVL树是最典型的平衡二叉树之一。 - 特征: - 插入或删除节点后需重新调整以保持平衡状态。 - 左旋和右旋是常用的调整方法。 ```python def height(node): if not node: return 0 return max(height(node.left), height(node.right)) + 1 def is_balanced(root): if not root: return True lh = height(root.left) rh = height(root.right) if abs(lh - rh) <= 1 and is_balanced(root.left) == True and is_balanced(root.right) == True: return True return False ``` --- #### 总结对比表格 | 类型 | 主要特征 | |------------------|----------------------------------------------------------------------------------------------| | 满二叉树 | 每一层要么全是叶子节点,要么全部是非叶子节点,且叶子节点在同一层 | | 完全二叉树 | 除最后一层外,其他层均为满二叉树;最后一层的节点靠左排列 | | 二叉搜索树 | 对于任一节点,左子树中小于它,右子树中大于它 | | 平衡二叉树 | 各节点左右子树高度差不大于1 | ---
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