编程之美初赛第一场

题目3 : 活动中心

时间限制: 12000ms
单点时限: 6000ms
内存限制: 256MB

描述

A市是一个高度规划的城市,但是科技高端发达的地方,居民们也不能忘记运动和锻炼,因此城市规划局在设计A市的时候也要考虑为居民们建造一个活动中心,方便居住在A市的居民们能随时开展运动,锻炼强健的身心。

城市规划局希望活动中心的位置满足以下条件:

1. 到所有居住地的总距离最小。

2. 为了方便活动中心的资源补给和其他器材的维护,活动中心必须建设在A市的主干道上。


为了简化问题,我们将A市摆在二维平面上,城市的主干道看作直角坐标系平的X轴,城市中所有的居住地都可以看成二维平面上的一个点。

现在,A市的城市规划局希望知道活动中心建在哪儿最好。


输入

第一行包括一个数T,表示数据的组数。

接下来包含T组数据,每组数据的第一行包括一个整数N,表示A市共有N处居住地

接下来N行表示每处居住地的坐标。


输出

对于每组数据,输出一行“Case X: Y”,其中X表示每组数据的编号(从1开始),Y表示活动中心的最优建造位置。我们建议你的输出保留Y到小数点后6位或以上,任何与标准答案的绝对误差或者相对误差在10-6以内的结果都将被视为正确。


数据范围

小数据:1 ≤ T ≤ 1000, 1 ≤ N ≤ 10

大数据:1 ≤ T ≤ 10, 1 ≤ N ≤ 105

对于所有数据,坐标值都是整数且绝对值都不超过106



样例解释

样例1:活动中心的最优建造位置为(1.678787, 0)



样例输入
1
3
1 1
2 2
3 3
样例输出
Case 1: 1.678787
分析:初看此题,感觉不难,目标是在X轴上找一个点,让它距离所有点距离之和最小,但是一动手做才发现不知道从哪里切入,因为如果从最小的X遍历到最大的X的话,无法设置步长(题目精确到了10^-6),所以还得找其他方法。

1、对目标函数求导,目标函数是 y=((x-x1)^2+y1*y1)^1/2+((x-x2)^2+y2*y2)^1/2+...,我们的目标是找到它的最小值,对它求导后,令导数等于0,此时的 x 就是我们要找的目标函数极小值处的 x ;但是导数=0也不好解,继续对导数求导发现其是恒大于0的,也就是说导数是递增的,所以导数的值应该是由负到正变化的,故目标函数应该是先递减后递增,有极小值,我们对导数应用二分法,找到它等于0处的点;关键代码如下:

while(fabs(l-h)>= 0.00000001){
      mid= (l+h)/2;
      if(calcu(mid)){  //计算导数值是否 >=0,若是,继续往右找
         h= mid;
      }else{   //否则,往左找
         l= mid;
      }
}
//calcu函数关键部分,求导数值
for(int i= 0; i< len; ++i){
    a= mid-point[i].first;
    b= sqrt(a*a+(point[i].second*point[i].second));
    sum+=a/b;
 }
return sum>=0;


2、看到另一位网友说,可以用三分法(我还是头一次听说这个三分法。。),即找一个全局的中间点mid,再找一个右半部分的mid,比较二者的目标函数值,谁小就往那边移动边界;

    double midl,midr,le,re,lme,rme;
    while(maxX-minX>eps)
    {
       midl=(minX+maxX)/2;  //全局mid
       midr=(midl+maxX)/2;  //右半段的mid,故为三分
       lme=GetDis(midl);   //计算目标函数值,即距离之和
       rme=GetDis(midr);
       if(lme>rme)
         minX=midl;
       else maxX=midr;
    }


参考链接:

http://blog.youkuaiyun.com/kunlong0909/article/details/24120343

http://www.tuicool.com/articles/iEjMBzv

http://94it.net/a/jingxuanboke/2014/0419/302083_2.html

### 关于2024百度之星初赛第一场的题目解析 目前尚未有官方发布的关于2024百度之星初赛第一场的具体题目解析文档被广泛传播或公开引用。然而,基于以往的比赛惯例以及社区讨论的内容[^1],可以推测该比赛通常涉及算法设计、数据结构应用以及编程技巧等方面的知识。 #### 题目类型分析 根据过往几年百度之星竞赛的特点,其题目可能涵盖但不限于以下几个方面: - **字符串处理**:此类问题经常考察参赛者对于复杂模式匹配的理解能力,例如KMP算法的应用场景或者正则表达式的高效实现方法。 - **动态规划 (Dynamic Programming)**:这是解决最优化问题的一种重要手段,在许多比赛中都会出现。它通过把原问题分解成相对简单的子问题来求解复杂问题的方法[^2]。 - **图论(Graph Theory)**:包括但不限于最小生成树(MST),单源最短路径(SSSP)等问题都是常见考点之一。这些都需要扎实的基础理论支持才能快速找到最优解答方案[^3]。 以下是针对假设性的几类典型问题提供一些通用思路和技术要点说明: --- #### 字符串处理案例解析 如果遇到需要频繁查询某个特定字符序列是否存在的情况,则可考虑构建AC自动机来进行批量检索操作;而对于仅需判断两个字符串之间关系的任务来说,双指针技术往往能够满足需求并保持较低时间复杂度O(n)[^4]。 ```python def is_subsequence(s, t): it = iter(t) return all(char in it for char in s) # Example Usage: print(is_subsequence("abc", "ahbgdc")) # Output: True ``` --- #### 动态规划实例讲解 当面临背包问题变种或是区间覆盖等相关挑战时,定义状态转移方程至关重要。比如经典的一维数组形式dp[i]=max(dp[i], dp[j]+w(i,j))表示从前j项选取若干物品放入容量不超过i的情况下所能获得的最大价值总和[^5]。 ```python def knapsack(weights, values, capacity): n = len(values) dp = [0]*(capacity+1) for i in range(1,n+1): w,v=weights[i-1],values[i-1] for j in reversed(range(capacity+1)): if j >=w : dp[j]= max(dp[j], dp[j-w]+v ) return dp[-1] # Example Usage: weights=[2,3,4] values =[3,4,5] capacity=5 result=knapsack(weights,values,capacity) print(result) # Output:7 ``` --- #### 图论基础概念复习 在面对连通性验证或者是寻找关键节点这样的任务时,BFS/DFS遍历配合并查集Union-Find的数据结构通常是首选策略。它们能够在几乎线性时间内完成大规模网络拓扑属性计算工作[^6]。 ```python from collections import defaultdict, deque class Graph: def __init__(self): self.graph = defaultdict(list) def addEdge(self,u,v): self.graph[u].append(v) self.graph[v].append(u) def BFS(self,start_vertex): visited=set() queue=deque([start_vertex]) while(queue): vertex=queue.popleft() if(vertex not in visited): visited.add(vertex) queue.extend(set(self.graph[vertex])-visited) return list(visited) g=Graph() edges=[[0,1],[0,2],[1,2],[2,3]] for u,v in edges:g.addEdge(u,v) res=g.BFS(2) print(res) #[2, 0, 1, 3] ``` 尽管以上只是部分可能涉及到的技术领域概述及其简单示例展示,但对于准备参加类似赛事的学习者而言已经具备相当指导意义了。
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