泰勒级数展开

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11.5 泰勒级数及其应用

11.5.1 泰勒级数的定义：

若函数f（x）在点的某一临域内具有直到（n+1）阶导数，则在该邻域内f（x）的n阶泰勒公式为：

其中：，称为拉格朗日余项。

以上函数展开式称为泰勒级数。

11.5.2 泰勒级数在幂级数展开中的作用：

在泰勒公式中，取，得：

这个级数称为麦克劳林级数。函数f（x）的麦克劳林级数是x的幂级数，那么这种展开是唯一的，且必然与f（x）的麦克劳林级数一致。

11.5.3 注意：如果f（x）的麦克劳林级数在点的某一临域内收敛，它不一定收敛于f（x）。因此，如果f（x）在处有各阶导数，则f（x）的麦克劳林级数虽然能做出来，但这个级数能否在某个区域内收敛，以及是否收敛于f（x）都需要进一步验证。

下面我们给出了几个重要的泰勒级数。参数x 为复数时它们依然成立。

指数函数和自然对数:

$e^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}\quad \forall x$

$\ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n+1}}n x^n\quad \forall x\in (-1,1]$

几何级数:

$\frac{1}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=0} x^n\quad \forall x: \left| x \right| < 1$

二项式定理:

$(1+x)^\alpha = \sum^{\infin}_{n=0} C(\alpha,n) x^n\quad \forall x: \left| x \right| < 1, \forall \alpha \in \mathbb{C}$

三角函数:

$\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad \forall x$

$\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\quad \forall x$

$\tan x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad \forall x: \left| x \right| < \frac{\pi}{2}$

$\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}\quad \forall x: \left| x \right| < \frac{\pi}{2}$

$\arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad \forall x: \left| x \right| < 1$

$\arctan x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\quad \forall x: \left| x \right| < 1$

$\arctan x = {{\pi {\mathop{\rm sgn}} x} \over 2} - {1 \over x} + \sum_{k = 1}^\infty {{{\left( { - 1} \right)^k } \over {\left( {2k + 1} \right)x^{2k + 1} }}} \quad \forall x: \left| x \right| > 1$

双曲函数:

$\sinh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad \forall x$

$\cosh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}\quad \forall x$

$\tanh x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad \forall x: \left| x \right| < \frac{\pi}{2}$

$\sinh^{-1} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad \forall x: \left| x \right| < 1$

$\tanh^{-1} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1}\quad \forall x: \left| x \right| < 1$

朗伯W函数:

$W_0(x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^n\quad \forall x: \left| x \right| < \frac{1}{e}$

二项式展开中的C(α,n)是二项式系数。

tan(x)和tanh(x)展开式中的B_k是伯努利数。

sec(x)展开式中的E_k是欧拉数。

[编辑]多元函数的展开

泰勒级数可以推广到有多个变量的函数： $\sum_{n_1=0}^{\infin} \cdots \sum_{n_d=0}^{\infin}\frac{\partial^{n_1}}{\partial x^{n_1}} \cdots \frac{\partial^{n_d}}{\partial x^{n_d}}\frac{f(a_1,\cdots,a_d)}{n_1!\cdots n_d!}(x_1-a_1)^{n_1}\cdots (x_d-a_d)^{n_d}$