动态规划：最长公共子序列和公共子串

最新推荐文章于 2023-05-09 23:02:10 发布

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本文详细介绍了子序列的概念，包括如何从一个序列中选取部分元素形成子序列，以及子序列的总数计算。进一步地，文章探讨了公共子序列的定义，并提供了最长公共子序列和最长公共子串的计算算法，解释了其在序列比较中的应用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

子序列：一个序列A ＝ a1,a2,……an,中任意删除若干项，剩余的序列叫做A的一个子序列。也可以认为是从序列A按原顺序保留任意若干项得到的序列。

对序列 1,3,5,4,2,6,8,7来说，序列3,4,8,7 是它的一个子序列。
对于一个长度为n的序列，它一共有2^n 个子序列，有(2^n – 1)个非空子序列。

公共子序列：顾名思义，如果序列C既是序列A的子序列，同时也是序列B的子序列，则称它为序列A和序列B的公共子序列。

最长公共子序列转移方程：

最长公共子串转移方程：

//最长公共子序列，时间复杂度O(m*n)
int lcs(string str1, string str2) {
    int len1 = (int)str1.length();
    int len2 = (int)str2.length();
    int c[len1+1][len2+1];
    for (int i = 0; i <= len1; i++) {
        for( int j = 0; j <= len2; j++) {
            if(i == 0 || j == 0) {
                c[i][j] = 0;
            } else if (str1[i-1] == str2[j-1]) {
                c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
            } else {
                c[i][j] = max(c[i - 1][j], c[i][j - 1]);
            }
        }
    }
    return c[len1][len2];
}

//最长公共子串
int lcs2(string str1, string str2) {
    int len1 = (int)str1.length();
    int len2 = (int)str2.length();
    int result = 0;     //记录最长公共子串长度
    int c[len1+1][len2+1];
    for (int i = 0; i <= len1; i++) {
        for( int j = 0; j <= len2; j++) {
            if(i == 0 || j == 0) {
                c[i][j] = 0;
            } else if (str1[i-1] == str2[j-1]) {
                c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
                result = max(c[i][j], result);
            } else {
                c[i][j] = 0;
            }
        }
    }
    return result;
}