拉格朗日插值多项式的原理介绍及其应用

山阴少年

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分类专栏：数学相关数值分析文章标签：数学 python

于 2018-01-08 22:03:31 首次发布

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插值，不论在数学中的数值分析中，还是在我们实际生产生活中，都不难发现它的身影，比如造船业和飞机制造业中的三次样条曲线。那么，什么是插值呢？我们可以先看一下插值的定义，如下：

（定义）如果对于每个 $\leq i \leq n,P(x_{i})=y_{i}$ ,则称函数 $y = P (x)$ 插值数据点 $x_{1},y_{1}),...,(x_{n},y_{n})$ .

插值的定义无疑是清楚明了的，而在众多的数学函数中，多项式无疑是最简单，最常见的函数，关于它的理论研究也最为透彻。因此，我们可以不妨先考虑利用多项式来进行插值。那么，这样的多项式是否总是存在呢？答案是肯定的，因为我们有如下定理：

（多项式插值定理）令 $x_{1},y_{1}),...,(x_{n},y_{n})$ 是平面中的 $n$ 个点，各 $x_{i}$ 互不相同。则有且仅有一个 $n - 1$ 次或者更低的多项式 $P$ 满足 $P(x_{i})=y_{i},i=1,2,...,n.$

**证明:**先用归纳法证明存在性，再证明唯一性。
当 $n = 1$ 时，常函数(0次) $P_{1}(x)=y_{1}$ 即符合要求。假设当 $n - 1$ 时存在一个次数 $≤n−2\leq n-2$ 的多项式 $P_{n-1}$ ,使得 $P_{n-1}(x_{i})=y_{i},i=1,2,...,n-1.$ 则令 $P_{n}(x)=P_{n-1}(x)+c(x-x_{1})(x-x_{2})...(x-x_{n-1})(x-x_{n})$ ，其中 $c$ 为待定系数，利用 $P_{n}(x_{n})=y_{n}$ 即可求出待定系数 $c$ .此时， $P_{n}(x_{i})=y_{i},i=1,2,...,n,$ 且 $P_{n}(x)$ 的次数 $≤n−1\leq n-1$ .这样就证明了存在性。
其次证明唯一性。假设存在两个这样的多项式，设为 $P (x)$ 和 $Q (x)$ ，它们次数 $≤n−1\leq n-1$ 且都插值经过 $n$ 个点，即 $P(x_{i})=Q(x_{i})=y_{i},i=1,2,...,n.$ 令 $H (x) = P (x) - Q (x)$ , $H$ 的次数也 $≤n−1\leq n-1$ ，且有 $n$ 个不同的根 $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ .因此，由多项式基本定理可知， $H (x)$ 为0多项式，即恒等于0，故有 $P (x) = Q (x)$ .这样就证明了存在性。
证毕。

有了以上定理，我们可以放心地使用多项式进行插值，同时，通过上述定理，我们可以用归纳法来构造此多项式，但是，这样的方法难免复杂麻烦。于是，天才的法国数学家拉格朗日（Lagrange）创造性地发明了一种实用的插值多项式方法来解决这个问题，那么，他的方法是怎么样的？
一般来说，如果我们有 $n$ 个点 $x_{1},y_{1}),...,(x_{n},y_{n})$ ，各 $x_{i}$ 互不相同。对于1到n之间的每个 $k$ ，定义 $n - 1$ 次多项式
$Lk(x)=(x−x1)..(x−xk−1)(x−xk+1)...(x−xn)(xk−x1)..(xk−xk−1)(xk−xk+1)...(xk−xn)L_{k}(x) = \frac{(x-x_{1})..(x-x_{k-1})(x-x_{k+1})...(x-x_{n})}{(x_{k}-x_{1})..(x_{k}-x_{k-1})(x_{k}-x_{k+1})...(x_{k}-x_{n})}$
$L_{k}(x)$ 具有有趣的性质： $Lk(xk)=1,Lk(xj)=0,j≠k.L_{k}(x_{k})=1,L_{k}(x_{j})=0,j\neq k.$ 然后定义一个 $n - 1$ 次多项式
$P_{n-1}(x)=y_{1}L_{1}(x)+...+y_{n}L_{n}(x).$
这样的多项式 $P_{n-1}(x)$ 满足 $P_{n-1}(x_{i})=y_{i},i=1,2,...,n.$ 这就是著名的拉格朗日插值多项式！
以上就是拉格朗日插值多项式的理论介绍部分，接下来我们就要用Python中的Sympy模块来实现拉格朗日插值多项式啦~~
实现拉格朗日插值多项式的Python代码如下：

from sympy import *

def Lagrange_interpolation(keys, values):
    x = symbols('x')
    t = len(keys)
    ploy = []
    for i in range(t):
        lst = ['((x-'+str(_)+')/('+str(keys[i])+'-'+str(_)+'))' for _ in keys if _ != keys[i]]
        item = '*'.join(lst)
        ploy.append(str(values[i])+'*'+item)
    ploy = '+'.join(ploy)
    
    return factor(expand(ploy))

def main():
    #example 1, interpolate a line 
    x_1 = [1,2]
    y_1 = [3,5]
    if len(x_1) != len(y_1):
        print('The lengths of two list are not equal!')
    else:
        print('Lagrange_interpolation polynomials is:')
        print(Lagrange_interpolation(x_1,y_1))
    
    #example 2, interpolate a parabola
    x_2 = [0,2,3]
    y_2 = [1,2,4]
    if len(x_2) != len(y_2):
        print('The lengths of two list are not equal!')
    else:
        print('Lagrange_interpolation polynomials is:')
        print(Lagrange_interpolation(x_2,y_2))
    
    #example 3
    x_3 = [0,1,2,3]
    y_3 = [2,1,0,-1]
    if len(x_3) != len(y_3):
        print('The lengths of two list are not equal!')
    else:
        print('Lagrange_interpolation polynomials is:')
        print(Lagrange_interpolation(x_3,y_3))
        
main()

函数Lagrange_interpolation()具体实现了拉格朗日插值多项式，参数(keys, values)为list形式的点对，在main()函数中举了三个Lagrange_interpolation()函数的应用实例，一个是插值两个点，即直线，一个是插值三个点，即抛物线，一个是插值四个点，但结果却是一次多项式。该程序的运行结果如下：

![程序运行结果](https://img-blog.youkuaiyun.com/20180108220343531?watermark/2/text/aHR0cDovL2Jsb2cuY3Nkbi5uZXQvamNsaWFuOTE=/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/gravity/SouthEast) 接下来，我们将介绍一个拉格朗日插值多项式的应用，即求 $$1^{k}+2^{k}+...+x^{k}$$ 的求和公式，其中$x,k$为正整数。分析如下: 首先，该求和公式应当是一个至多为k+1次的关于$x$的多项式。然后，我们可以通过取k+2个不同的点，利用拉格朗日插值多项式的办法来求解，这k+2个不同的点的横坐标可以取$x=1,2,...,k+2$,在求出其对应的纵坐标的值。以下代码分别求出$k=1,2,...,50$的求和公式，并将其插入到Redis中。 ```python from sympy import * import redis

def Lagrange_interpolation(keys, values):
x = symbols(‘x’)
t = len(keys)
ploy = []
for i in range(t):
lst = [‘((x-’+str()+‘)/(’+str(keys[i])+‘-’+str()+‘))’ for _ in keys if _ != keys[i]]
item = ‘‘.join(lst)
ploy.append(str(values[i])+’’+item)
ploy = ‘+’.join(ploy)

return factor(expand(ploy))

def degree_of_sum(k):
x_list, y_list = [], []
degree = k # degree=k in expression of 1^k+2k+…+x^{k}
cul_sum = 0
for i in range(1,degree+3):
x_list.append(i)
cul_sum += i**degree
y_list.append(cul_sum)
return Lagrange_interpolation(x_list,y_list)

def main():
r = redis.Redis(host=‘localhost’, port=6379,db=0)
for k in range(1,51):
expression = str(degree_of_sum(k))
r.hset(‘sum_%s’%k,‘degree’,str(k))
r.hset(‘sum_%s’%k,‘expression’,expression)
print(‘Degree of %d inserted!’%k)

main()

运行以上程序，结果如下：
<center>
![程序运行结果](https://img-blog.youkuaiyun.com/20180108221925388?watermark/2/text/aHR0cDovL2Jsb2cuY3Nkbi5uZXQvamNsaWFuOTE=/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/gravity/SouthEast)
</center>
在Redis中的储存结果如下：
<center>
![Redis中储存结果](https://img-blog.youkuaiyun.com/20180108221948384?watermark/2/text/aHR0cDovL2Jsb2cuY3Nkbi5uZXQvamNsaWFuOTE=/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/gravity/SouthEast)
</center>
我们可以具体查看当$k=2$时的求和公式，如下：
<center>
![k=2时的求和公式](https://img-blog.youkuaiyun.com/20180108222038385?watermark/2/text/aHR0cDovL2Jsb2cuY3Nkbi5uZXQvamNsaWFuOTE=/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/gravity/SouthEast)
</center>
&emsp;&emsp;这样我们就介绍完了一个拉格朗日插值多项式的应用了。看了上面的介绍，聪明又机智的你是否能想到更多拉格朗日插值多项式的应用呢？欢迎大家交流哦~~
&emsp;&emsp;新的一年，新的气象，就从这一篇开始~

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