最小二乘法直线拟合

 

设经验方程是y=F(x)，方程中含有一些待定系数an，给出真实值{(xi,yi)|i=1,2,...n},将这些x,y值代入方程然后作差，可以描述误差：yi-F(xi)，为了考虑整体的误差，可以取平方和，之所以要平方是考虑到误差可正可负直接相加可以相互抵消，所以记误差为：

 

e=∑(yi-F(x_i))²

 

 

 

 

如果经验方程是线性的，形如y=ax+b，就是线性回归。按上面的分析，误差函数为：

 

e=∑(y_i-ax_i-b)²

 

 

各偏导为：

de/da=2∑((y_i-ax_i-b)(-x_i)=0
de/db=-2∑(y_i-ax_i-b)=0

 

于是得到关于a,b的线性方程组：

(∑x_i²)a+(∑x_i)b=∑y_ix_i

(∑x_i)a+nb=∑y_i

 

 

 

设A=∑x_i²,B=∑x_i,C=∑y_ix_i,D=∑y_i，则方程化为：

Aa+Bb=C
Ba+nb=D

解出a,b得：

a=(Cn-BD)/(An-BB)
b=(AD-CB)/(An-BB) 
这就是我们要进行的算法。

 

 

C++代码如下：

#include "iostream" void Min2Method(double &xyTopX, double &xyTopY, int X[], int Y[], int nCount) ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// //////// 功能描述：利用最小二乘法求斜率 ////////// //////// xyTopX -- 截距 ////////// //////// xyTopY -- 斜率 //////// nCount -- 点数 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// { int i; double SumX, SumY, SumXY, SumX2; SumX = 0; SumX2 = 0; for( i=0; i<nCount; i++) { SumX += X[i]; SumX2 += (X[i]*X[i]); } SumY = 0; for( i=0; i<nCount; i++) { SumY += Y[i]; } SumXY = 0; for( i=0; i<nCount; i++) { SumXY += ( X[i]* Y[i]); } xyTopX = ( (SumX2*SumY - SumX*SumXY) / (nCount*SumX2 - SumX * SumX)); xyTopY = ( (nCount*SumXY - SumX*SumY) / (nCount*SumX2 - SumX * SumX)); } int main() { double xyTopX = 0 ; double xyTopY = 0 ; int nCount = 10 ; int x[] = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}; int y[] = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}; Min2Method(xyTopX,xyTopY,x,y,nCount); std::cout << " xyTopX " << xyTopX << std::endl; std::cout << " xyTopY " << xyTopY << std::endl; system("pause"); }