poj2226 二分图经典建图求最小点覆盖

博客围绕一个N行M列的图展开,图中'*'为稀泥,'.'为草地,需用木板盖住稀泥且不盖草地,一张木板只能覆盖一行或一列部分。通过将横向、列向连续点分别作为L和R,有交集则连边,最终求最小点覆盖(即最大匹配数)来确定最少木板数。

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题意::给出一个N行M列的图,’*’代表稀泥,’.’代表草地,现在要用一些木板把所有的稀泥盖住,但是不能盖住草地。一张木板只能盖住一行或者一列中的一部分,求至少要用多少木板把所有的稀泥盖住。

把横向连续的点压在一起作为L,把列向连续的点压在一起作为R,如果两者有交集,就从L到R连一条边。求最小点覆盖(==最大匹配数)

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>

using namespace std;
const int N = 55;
const int M = N*N;
char a[N][N];
int row[N][N],col[N][N];
int R,C;
bool vis[M];
int linker[M];
int to[M],nxt[M];
int head[M],tot;
int n, m;

void addedge(int u, int v)
{
    ++tot;
    to[tot] = v;
    nxt[tot] = head[u];
    head[u] = tot;
}

bool dfs(int u)
{
    for(int i = head[u]; ~i; i = nxt[i])
    {
        int v = to[i];
        if(!vis[v])
        {
            vis[v] = 1;
            if(linker[v]==-1 || dfs(linker[v]))
            {
                linker[v] = u;
                return 1;
            }
        }
    }
    return 0;
}

int hungary()
{
    int ret = 0;
    memset(linker, -1, sizeof(linker));
    for(int i = 1; i <= R; ++i)
    {
        memset(vis, 0, sizeof(vis));
        if(dfs(i))
            ++ret;
    }
    return ret;
}

int main()
{
    while(~scanf("%d %d", &n, &m))
    {
        memset(row, 0, sizeof(row));
        memset(col, 0, sizeof(col));
        memset(head, -1, sizeof(head));
        tot = -1;
        R = C = 0;
        for(int i = 1; i <= n; ++i)
            for(int j = 1; j <= m; ++j)
            {
                cin >> a[i][j];
                if(a[i][j]=='*')
                {
                    if(row[i][j-1]) row[i][j] = row[i][j-1];
                    else row[i][j] = ++R;
                    if(col[i-1][j]) col[i][j] = col[i-1][j];
                    else col[i][j] = ++C;
                }
            }
        for(int i = 1; i <= n; ++i)
            for(int j = 1; j <= m; ++j)
                if(a[i][j]=='*')
                    addedge(row[i][j], col[i][j]);
        printf("%d\n", hungary());
    }
    return 0;
}
### 关于二分图最小覆盖的算法实现 #### 1. 最小覆盖的概念 最小覆盖是指在一个二分图中选取尽可能少的节,使得这些节能够覆盖所有的边。换句话说,对于每一条边 (u, v),至少有一个端 u 或 v 被选入覆盖集中。 根据 König 定理,在任意无向二分图中,最小覆盖的数量等于该的最大匹配数量[^1]。 --- #### 2. 算法原理 为了二分图最小覆盖,通常采用 **匈牙利算法** 来计算最大匹配数。具体过程如下: - 构一个二分图 G(X,Y,E),其中 X 和 Y 是两个互不相交的节集合,E 表示连接它们的边。 - 使用匈牙利算法找到二分图的最大匹配 M。 - 基于最大匹配的结果,通过以下方式构造最小覆盖: - 将左侧未被匹配的节加入到覆盖集中; - 对右侧已被匹配的节也加入到覆盖集中。 最终得到的覆盖集大小即为最小覆盖的数量[^2]。 --- #### 3. 实现代码 以下是基于 Python 的实现代码,利用匈牙利算法完成二分图最小覆盖的计算: ```python from collections import defaultdict def hungarian_algorithm(graph, n, m): """ 匈牙利算法用于寻找二分图的最大匹配 :param graph: 邻接表表示的二分图 {X -> [Y]} :param n: 左侧节数目 :param m: 右侧节数目 :return: 最大匹配结果 """ match_y = [-1] * m # 记录右侧节对应的匹配关系 visited = None # 当前轮次访问标记 def dfs(u): for v in graph[u]: if not visited[v]: visited[v] = True if match_y[v] == -1 or dfs(match_y[v]): match_y[v] = u return True return False matching_count = 0 for i in range(n): visited = [False] * m if dfs(i): matching_count += 1 return matching_count, match_y def min_vertex_cover(graph, n, m): """ 二分图最小覆盖 :param graph: 邻接表表示的二分图 {X -> [Y]} :param n: 左侧节数目 :param m: 右侧节数目 :return: 最小覆盖集合 """ max_matching, match_y = hungarian_algorithm(graph, n, m) cover_x = set() # 左侧需要覆盖的节 cover_y = set() # 右侧需要覆盖的节 unmatched_in_x = set(range(n)) # 初始认为所有左侧节都未匹配 matched_in_y = set() for y in range(m): # 找出右侧已匹配的节 if match_y[y] != -1: unmatched_in_x.discard(match_y[y]) # 如果某个左侧节参与了匹配,则移除 matched_in_y.add(y) cover_x.update(unmatched_in_x) # 添加左侧未匹配的节 cover_y.update(set(range(m)) - matched_in_y) # 添加右侧未匹配的节 return list(cover_x), list(cover_y) # 测试用例 if __name__ == "__main__": # 输入邻接表形式的二分图 graph = { 0: [0, 1], 1: [0, 2], 2: [1, 3] } n = 3 # 左侧节数 m = 4 # 右侧节数 result_x, result_y = min_vertex_cover(graph, n, m) print(f"左侧需覆盖的节: {result_x}") print(f"右侧需覆盖的节: {result_y}") ``` 上述代码实现了二分图最小覆盖功能,核心部分依赖匈牙利算法来获取最大匹配,并据此推导出覆盖所需的节集合[^3]。 --- #### 4. 应用实例 考虑 POJ 3041 Asteroids 这道题目,其本质是一个二分图最小覆盖问题。给定一组障碍物坐标,将其转化为二分图模型后,可以通过以上方法高效解决。最终输出的是满足条件的最小射击次数[^4]。 ---
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