动态规划 001 - 编辑距离(Levenshtein Distance)问题

问题

字符串的编辑距离也被称为距Levenshtein距离（Levenshtein Distance），属于经典算法，常用方法使用递归，更好的方法是使用动态规划算法，以避免出现重叠子问题的反复计算，减少系统开销。

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思考

也许我们以前遇过这样一个问题：

计算两个字符串的相似度。

关于相似度的定义，从下面这个例子了解一下：

比如，对于”abcdefg”和”abcdef”两个字符串来说，我们认为可以通过增加/减少一个”g”的方式来达到目的。把这个操作所需要的次数定义为两个字符串的距离，而相似度等于”距离+1”的倒数。也就是说，”abcdefg”和”abcdef”的距离为1，相似度 为1/2=0.5。给定任意两个字符串，你是否能写出一个算法来计算它们的相似度呢？（其实这个问题的关键是要求两个字符串的编辑距离。）

这个问题其实是由俄罗斯科学家Vladimir Levenshtein在1965年提出的。

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分析

*先考虑一些特殊情况：

d(null, B) = strlen(B);
d(A, null) = strlen(A);
d(A, B) = 0 当且仅当 A = B.

*再考虑一般情况下的 d(A, B)

运用动态规划求出递归方程，将原问题分解为若干个子问题进行求最优解，而后得出原问题的最优解，采用“填表的方法”。
设计步骤：对每个子问题只求解一次，将其结果保存在一张表（构造一个行数为n+1 列数为 m+1 的矩阵 , 用来保存完成某个转换需要执行的最少操作的次数, 其中，n为字符串A的长度，m为字符串B的长度)中。

对矩阵中的一点d[i][j]，保存从A[0:i]变到B[0:j]的编辑距离。其中，这里S[0:i]变到t[0:j]有三种情况，求得这三种情况的最小值作为最小操作数：

（1）设可以在k1个操作内将s[0：i-1]转换为t[0：j]，用k1+1次操作将s[0：i]转化为t[0：j]，只需要先在“s[0：i]转化为t[0：j]”的操作开端做1次移除操作移除s[i]将s[0:i]转化为s[0:i-1]，然后再做k1个操作就可以转换为t[0:j]。对应表格，对应矩阵d[i][j]处即填入k1+1。（左）

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（2）设可以在k2个操作内将s[0：i]转换为t[0：j-1]，用k2+1次操作将s[0：i]转化为t[0：j]，先用k2