时间复杂度-简单易懂

时间复杂度

概念:

1、时间复杂度&渐进时间复杂度

    一个是时间复杂度,一个是渐近时间复杂度。前者是某个算法的时间耗费,它是该算法所求解问题规模n的函数,而后者是指当问题规模趋向无穷大时,该算法时间复杂度的数量级。

当我们评价一个算法的时间性能时,主要标准就是算法的渐近时间复杂度

2、频度

一个算法中的语句执行次数称为语句频度时间频度,记为T(n)

3、n

n为问题的规模,那么T(n),毫无疑问跟规模有关

4、f(n)

    T(n)=O(f(n))简称为时间复杂度,为什么?

在这里f(n)这是一个辅助函数,如果使得当n趋近于无穷大时,T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数,则称f(n)是T(n)的同数量级函数;所以,哪怕两个算法频度不同,其时间复杂度却有可能相同

记作T(n)=O(f(n)),称O(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度,简称时间复杂度。

随着问题规模n的不断增大,上述时间复杂度不断增大,算法的执行效率越低

存在常数 c 和函数 f(N),使得当 N >= c 时 T(N) <= f(N),表示为 T(n) = O(f(n))

 

当 N >= 2 的时候,f(n) = n^2 总是大于 T(n) = n + 2 的,于是我们说 f(n) 的增长速度是大于或者等于 T(n) 的,也说 f(n) 是 T(n) 的上界,可以表示为 T(n) = O(f(n))。

    因为f(n) 的增长速度是大于或者等于 T(n) 的,即T(n) = O(f(n)),所以我们可以用 f(n) 的增长速度来度量 T(n) 的增长速度,所以我们说这个算法的时间复杂度是 O(f(n))。 算法的时间复杂度,用来度量算法的运行时间

记作: T(n) = O(f(n))。

    它表示随着 输入大小n 的增大,算法执行需要的时间的增长速度可以用 f(n) 来描述。 显然如果 T(n) = n^2,那么 T(n) = O(n^2),T(n) = O(n^3),T(n) = O(n^4) 都是成立的,但是因为第一个 f(n) 的增长速度与 T(n) 是最接近的,所以第一个是最好的选择,所以我们说这个算法的复杂度是 O(n^2)

如果是T(n) = c,c是一个常数,那么这个func的时间复杂度就是O(1)

如果是T(n) = an + c;那么就是O(n)

如果是T(n) = an^2 + c;那么就是O(n^2)

....

依次类推,就是取函数的最高n次项

如果是循环的话:

1.对于一个循环,假设循环体的时间复杂度为 O(n),循环次数为 m,则这个 循环的时间复杂度为 O(n×m)

void aFunc(int n) {

    for(int i = 0; i < n; i++) {         // 循环次数为 n

        printf("Hello, World!\n");      // 循环体时间复杂度为 O(1)

    }}

此时时间复杂度为 O(n × 1),即 O(n)

2.对于多个循环,假设循环体的时间复杂度为 O(n),各个循环的循环次数分别是a, b, c...,则这个循环的时间复杂度为 O(n×a×b×c...) 分析的时候应该由里向外分析这些循环。

void aFunc(int n) {

    for(int i = 0; i < n; i++) {         // 循环次数为 n

        for(int j = 0; j < n; j++) {       // 循环次数为 n

            printf("Hello, World!\n");      // 循环体时间复杂度为 O(1)

        }

    }}

此时时间复杂度为 O(n × n × 1),即 O(n^2)

3.对于顺序执行的语句或者算法,总的时间复杂度等于其中最大的时间复杂度。

void aFunc(int n) {

    // 第一部分时间复杂度为 O(n^2)

    for(int i = 0; i < n; i++) {

        for(int j = 0; j < n; j++) {

            printf("Hello, World!\n");

        }

    }

    // 第二部分时间复杂度为 O(n)

    for(int j = 0; j < n; j++) {

        printf("Hello, World!\n");

    }

}

此时时间复杂度为 max(O(n^2), O(n)),即 O(n^2)。

4.对于条件判断语句,总的时间复杂度等于其中 时间复杂度最大的路径 的时间复杂度

void aFunc(int n) {

    if (n >= 0) {

        // 第一条路径时间复杂度为 O(n^2)

        for(int i = 0; i < n; i++) {

            for(int j = 0; j < n; j++) {

                printf("输入数据大于等于零\n");

            }

        }

    } else {

        // 第二条路径时间复杂度为 O(n)

        for(int j = 0; j < n; j++) {

            printf("输入数据小于零\n");

        }

    }
}

此时时间复杂度为 max(O(n^2), O(n)),即 O(n^2)

以上举例了一些简单的时间复杂度,现在列举常见的:

    常见的时间复杂度,按数量级递增排列依次为:

常数阶O(1)、对数阶O(log2n)、线性阶O(n)、线性对数阶O(nlog2n)、平方阶O(n^2)、立方阶O(n^3)、k次方阶O(n^k)、指数阶O(2^n)

这些复杂度有一个经验规则:

c < log2N < n < n * Log2N < n^2 < n^3 < 2^n < 3^n < n!

   时间复杂度就是这样计算得来的,如果不会算也不要紧,但是起码要知道大概平时写代码的时候,什么代码跑的快,性能好,什么代码跑的慢,性能差;大概的印象还是要有的

<think>好的,用户现在问的是时间复杂度和空间复杂度的区别。之前他们问过N维数组求平均函数mean的算法复杂度,我详细分析了间和空间复杂度。现在需要解释两者的区别,可能需要从定义、计算方式、影响因素等方面展开。 首先,我需要确认用户的基础知识水平。他们可能已经了解一些算法概念,但需要更清晰的对比。在之前的回答中,我已经提到过时间复杂度和空间复杂度的例子,所以这里需要更系统地比较两者的不同。 用户可能是在学习算法或准备面试,所以需要明确的定义和例子。要确保回答结构清晰,分点说明,可能用例子来帮助理解。同,用户可能想知道为什么区分这两个概念很重要,实际应用中如何权衡。 我需要先给出各自的定义,然后对比它们的关注点、度量方式、优化策略和实际影响。可能还需要提到它们之间的关系,比如-空间的权衡。注意使用之前的例子,比如mean函数的O(M)间和O(1)空间,来具体说明。 要避免使用过多术语,保持解释简单易懂。可能需要检查是否有常见的误解需要澄清,比如时间复杂度不是实际运行间,而是增长率。同,强调空间复杂度包括辅助空间和输入本身的空间,但通常关注额外空间。 还要考虑用户可能的后续问题,比如如何分析一个算法的间或空间复杂度,或者在实际编程中如何优化。不过当前问题只问区别,所以需要紧扣主题,不跑题。 总结,要强调两者的重要性及平衡,让用户明白为什么需要同考虑这两个方面。可能用比喻或类比来帮助记忆,比如间像汽油消耗,空间像行李空间,优化方向不同。</think>--- ### **时间复杂度和空间复杂度的核心区别** --- #### **1. 定义对比** | **维度** | **时间复杂度** | **空间复杂度** | |------------------|------------------------------------------------|------------------------------------------------| | **核心关注点** | **算法执行所需的间** | **算法执行所需的内存空间** | | **度量对象** | 基本操作次数(如加减乘除、比较、循环等)的增长率 | 额外内存使用量(如变量、数组、递归栈等)的增长率 | --- #### **2. 计算方式** - **时间复杂度** 描述输入规模$n$增大,算法执行间的增长趋势。 **示例**: 遍历$n$个元素的数组求和 → $O(n)$ 两层嵌套循环 → $O(n^2)$ - **空间复杂度** 描述输入规模$n$增大,算法占用内存的增长趋势。 **示例**: 生成一个包含$n$个元素的数组 → $O(n)$ 仅用固定变量 → $O(1)$ --- #### **3. 关键差异** | **特征** | 时间复杂度 | 空间复杂度 | |------------------|-------------------------------------------|-------------------------------------------| | **优化方向** | 减少循环次数、优化逻辑分支 | 复用内存、减少临变量 | | **硬件依赖** | 受CPU速度影响,但理论分析忽略具体硬件 | 受内存容量限制,但理论分析同样抽象化 | | **典型取舍** | 空间换间(如缓存预处理数据) | 间换空间(如流式处理替代全量存储) | | **常见表示法** | 大O符号($O(n)$, $O(n^2)$, $O(\log n)$等) | 同左 | --- #### **4. 实际案例对比** **案例**:计算斐波那契数列第$n$项 - **递归算法** - 时间复杂度:$O(2^n)$(存在重复计算) - 空间复杂度:$O(n)$(递归调用栈深度) - **动态规划算法** - 时间复杂度:$O(n)$(单次遍历) - 空间复杂度:$O(n)$(存储前$n$项结果) - **优化动态规划** - 时间复杂度:$O(n)$ - 空间复杂度:$O(1)$(仅保留最近两个值) --- #### **5. 相互关系与权衡** - **-空间权衡(Time-Space Tradeoff)** 多数算法需要在间和空间之间取舍: - **牺牲间**:例如压缩数据减少内存占用,但解压需额外- **牺牲空间**:例如缓存中间结果加速查询,但占用更多内存 - **现代系统倾向**: 通常更重视**时间复杂度优化**(因内存成本下降,但CPU间直接影响用户体验) --- ### **总结** | **维度** | **时间复杂度** | **空间复杂度** | |------------------|-------------------------|-------------------------| | **本质** | 间效率 | 内存效率 | | **优化优先级** | 通常更高 | 在资源受限关键 | | **分析重点** | 操作次数的增长率 | 内存占用的增长率 | | **典型场景** | 大数据处理、实系统 | 嵌入式设备、内存敏感场景 | **核心记忆点**: - 时间复杂度关注“**跑多快**”,空间复杂度关注“**占多大内存**” - 两者共同构成算法效率评价的基石,实际设计中需根据场景灵活权衡。
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