时间复杂度-简单易懂

时间复杂度

概念：

1、时间复杂度&渐进时间复杂度

    一个是时间复杂度，一个是渐近时间复杂度。前者是某个算法的时间耗费，它是该算法所求解问题规模n的函数，而后者是指当问题规模趋向无穷大时，该算法时间复杂度的数量级。

当我们评价一个算法的时间性能时，主要标准就是算法的渐近时间复杂度

2、频度

一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度，记为T（n）

3、n

n为问题的规模，那么T（n），毫无疑问跟规模有关

4、f（n）

    T(n)=O(f(n))简称为时间复杂度，为什么？

在这里f（n）这是一个辅助函数，如果使得当n趋近于无穷大时，T（n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数；所以，哪怕两个算法频度不同，其时间复杂度却有可能相同

记作T(n)=O(f(n)),称O(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低

存在常数 c 和函数 f(N)，使得当 N >= c 时 T(N) <= f(N)，表示为 T(n) = O(f(n))

 

当 N >= 2 的时候，f(n) = n^2 总是大于 T(n) = n + 2 的，于是我们说 f(n) 的增长速度是大于或者等于 T(n) 的，也说 f(n) 是 T(n) 的上界，可以表示为 T(n) = O(f(n))。

    因为f(n) 的增长速度是大于或者等于 T(n) 的，即T(n) = O(f(n))，所以我们可以用 f(n) 的增长速度来度量 T(n) 的增长速度，所以我们说这个算法的时间复杂度是 O(f(n))。 算法的时间复杂度，用来度量算法的运行时间

记作: T(n) = O(f(n))。

    它表示随着 输入大小n 的增大，算法执行需要的时间的增长速度可以用 f(n) 来描述。 显然如果 T(n) = n^2，那么 T(n) = O(n^2)，T(n) = O(n^3)，T(n) = O(n^4) 都是成立的，但是因为第一个 f(n) 的增长速度与 T(n) 是最接近的，所以第一个是最好的选择，所以我们说这个算法的复杂度是 O(n^2)

如果是T(n) = c，c是一个常数，那么这个func的时间复杂度就是O(1)

如果是T(n) = an + c；那么就是O(n)

如果是T(n) = an^2 + c；那么就是O(n^2)

....

依次类推，就是取函数的最高n次项

如果是循环的话：

1.对于一个循环，假设循环体的时间复杂度为 O(n)，循环次数为 m，则这个 循环的时间复杂度为 O(n×m)

void aFunc(int n) {

    for(int i = 0; i < n; i++) {         // 循环次数为 n

        printf("Hello, World!\n");      // 循环体时间复杂度为 O(1)

    }}

此时时间复杂度为 O(n × 1)，即 O(n)

2.对于多个循环，假设循环体的时间复杂度为 O(n)，各个循环的循环次数分别是a, b, c...，则这个循环的时间复杂度为 O(n×a×b×c...) 分析的时候应该由里向外分析这些循环。

void aFunc(int n) {

    for(int i = 0; i < n; i++) {         // 循环次数为 n

        for(int j = 0; j < n; j++) {       // 循环次数为 n

            printf("Hello, World!\n");      // 循环体时间复杂度为 O(1)

        }

    }}

此时时间复杂度为 O(n × n × 1)，即 O(n^2)

3.对于顺序执行的语句或者算法，总的时间复杂度等于其中最大的时间复杂度。

void aFunc(int n) {

    // 第一部分时间复杂度为 O(n^2)

    for(int i = 0; i < n; i++) {

        for(int j = 0; j < n; j++) {

            printf("Hello, World!\n");

        }

    }

    // 第二部分时间复杂度为 O(n)

    for(int j = 0; j < n; j++) {

        printf("Hello, World!\n");

    }

}

此时时间复杂度为 max(O(n^2), O(n))，即 O(n^2)。

4.对于条件判断语句，总的时间复杂度等于其中 时间复杂度最大的路径 的时间复杂度

void aFunc(int n) {

    if (n >= 0) {

        // 第一条路径时间复杂度为 O(n^2)

        for(int i = 0; i < n; i++) {

            for(int j = 0; j < n; j++) {

                printf("输入数据大于等于零\n");

            }

        }

    } else {

        // 第二条路径时间复杂度为 O(n)

        for(int j = 0; j < n; j++) {

            printf("输入数据小于零\n");

        }

    }
}

此时时间复杂度为 max(O(n^2), O(n))，即 O(n^2)

以上举例了一些简单的时间复杂度，现在列举常见的：

    常见的时间复杂度，按数量级递增排列依次为：

常数阶O(1)、对数阶O(log2n)、线性阶O(n)、线性对数阶O(nlog2n)、平方阶O(n^2)、立方阶O(n^3)、k次方阶O(n^k)、指数阶O(2^n)

这些复杂度有一个经验规则：

c < log2N < n < n * Log2N < n^2 < n^3 < 2^n < 3^n < n!

   时间复杂度就是这样计算得来的，如果不会算也不要紧，但是起码要知道大概平时写代码的时候，什么代码跑的快，性能好，什么代码跑的慢，性能差；大概的印象还是要有的