高中集合知识- 集合元素三大特性- 元素与集合的关系-集合间的基本关系 -集合基本运算

一、集合中元素三大特性（全部带具体数值）

1. 确定性

✅ 有明确标准，能判断是否属于集合

• 例子：A={1,2,3,4,5}\boldsymbol{A=\{1,2,3,4,5\}}A={1,2,3,4,5}
• 例子：小于 6 的自然数 {0,1,2,3,4,5}\boldsymbol{\{0,1,2,3,4,5\}}{0,1,2,3,4,5}
• 错误例子❌ :模糊描述不能构成集合：“比较大的数”“好学生” 无法判断

口诀：边界清楚，一数一判

2. 互异性

集合中元素互不重复

• 错误：{2,2,3,3,5}\boldsymbol{\{2,2,3,3,5\}}{2,2,3,3,5}
• 正确：{2,3,5}\boldsymbol{\{2,3,5\}}{2,3,5}

同一个数只能出现一次

3. 无序性

集合元素不分顺序
{1,3,7}={7,1,3} \boldsymbol{\{1,3,7\} = \{7,1,3\}} {1,3,7}={7,1,3}
顺序调换，还是同一个集合

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二、元素与集合的关系（带具体数字）

设：
A={2,4,6,8,10} \boldsymbol{A=\{2,4,6,8,10\}} A={2,4,6,8,10}

1. 属于 $\in$

$$4\in \mathbf{A},8\in \mathbf{A}$$

读作：4 属于集合 $A$

2. 不属于 $\notin$

$$3\notin \mathbf{A},5\notin \mathbf{A}$$

读作：3 不属于集合 $A$

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三、集合间的基本关系（全带具体数值）

设：
A={1,2,3},  B={1,2,3,4,5} \boldsymbol{A=\{1,2,3\},\ \ B=\{1,2,3,4,5\}} A={1,2,3},  B={1,2,3,4,5}

1. 子集 $\subseteq$

$A$ 中所有元素都在 $B$ 中
{1,2,3}⊆{1,2,3,4,5} \boldsymbol{\{1,2,3\} \subseteq \{1,2,3,4,5\}} {1,2,3}⊆{1,2,3,4,5}

2. 真子集 $⫋$

$A\subseteq B$，且 $B$ 有多余元素
{1,2,3}⫋{1,2,3,4,5} \boldsymbol{\{1,2,3\} \subsetneqq \{1,2,3,4,5\}} {1,2,3}⫋{1,2,3,4,5}

3. 集合相等 $=$

元素完全一样
{2,5,8}={5,8,2} \boldsymbol{\{2,5,8\} = \{5,8,2\}} {2,5,8}={5,8,2}

4. 空集 $\varnothing$

不含任何元素

• ∅⊆{1,3,6}\boldsymbol{\emptyset\subseteq \{1,3,6\}}∅⊆{1,3,6}
• 空集是任何集合的子集,包含空集 $\varnothing \subseteq \varnothing$
• 空集是任何非空集合的真子集

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四、集合基本运算（交集、并集、补集）

统一给定：
U={1,2,3,4,5,6,7},  A={1,3,5},  B={3,5,7} \boldsymbol{U=\{1,2,3,4,5,6,7\}},\ \ \boldsymbol{A=\{1,3,5\}},\ \ \boldsymbol{B=\{3,5,7\}} U={1,2,3,4,5,6,7},  A={1,3,5},  B={3,5,7}

1. 交集 $\mathbf{A}\cap \mathbf{B}$ 公共元素

A∩B={3,5} A\cap B = \boldsymbol{\{3,5\}} A∩B={3,5}

2. 并集 $\mathbf{A}\cup \mathbf{B}$ 全部元素（去重）

A∪B={1,3,5,7} A\cup B = \boldsymbol{\{1,3,5,7\}} A∪B={1,3,5,7}

3. 补集 ${\complement }_{\mathbf{U}}\mathbf{A}$ 全集中去掉A

∁UA={2,4,6,7} \complement_U A = \boldsymbol{\{2,4,6,7\}} ∁U​A={2,4,6,7}

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极简版

1. 三大特性

• 确定性：{1,2,3,4}\{1,2,3,4\}{1,2,3,4}
• 互异性：{2,2,3}⇒{2,3}\{2,2,3\}\Rightarrow\{2,3\}{2,2,3}⇒{2,3}
• 无序性：{1,5,9}={9,1,5}\{1,5,9\}=\{9,1,5\}{1,5,9}={9,1,5}

2. 元素关系
   A={2,4,6,8}, 4∈A, 5∉AA=\{2,4,6,8\},\ 4\in A,\ 5\notin AA={2,4,6,8}, 4∈A, 5∈/A

3. 集合关系
   A={1,2},B={1,2,3}A=\{1,2\},B=\{1,2,3\}A={1,2},B={1,2,3}
   $A\subseteq B,A⫋B$

4. 集合运算
   U={1,2,3,4,5,6,7}U=\{1,2,3,4,5,6,7\}U={1,2,3,4,5,6,7}
   A={1,3,5},B={3,5,7}A=\{1,3,5\},B=\{3,5,7\}A={1,3,5},B={3,5,7}
   A∩B={3,5}A\cap B=\{3,5\}A∩B={3,5}
   A∪B={1,3,5,7}A\cup B=\{1,3,5,7\}A∪B={1,3,5,7}