白话经典算法系列之七 堆与堆排序

堆排序与快速排序，归并排序一样都是时间复杂度为O(N*logN)的几种常见排序方法。学习堆排序前，先讲解下什么是数据结构中的二叉堆。

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二叉堆的定义

二叉堆是完全二叉树或者是近似完全二叉树。

二叉堆满足二个特性：

1．父结点的键值总是大于或等于（小于或等于）任何一个子节点的键值。

2．每个结点的左子树和右子树都是一个二叉堆（都是最大堆或最小堆）。

当父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值时为最大堆。当父结点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值时为最小堆。下图展示一个最小堆：

由于其它几种堆（二项式堆，斐波纳契堆等）用的较少，一般将二叉堆就简称为堆。

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堆的存储

一般都用数组来表示堆，i结点的父结点下标就为(i – 1) / 2。它的左右子结点下标分别为2 * i + 1和2 * i + 2。如第0个结点左右子结点下标分别为1和2。

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堆的操作——插入删除

下面先给出《数据结构C++语言描述》中最小堆的建立插入删除的图解，再给出本人的实现代码，最好是先看明白图后再去看代码。

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堆的插入

每次插入都是将新数据放在数组最后，可以发现从这个新数据的父结点到根结点必然为一个有序的数列，现在的任务是将这个新数据插入到这个有序数据中——这就类似于直接插入排序中将一个数据并入到有序区间中，对照《白话经典算法系列之二 直接插入排序的三种实现》不难写出插入一个新数据时堆的调整代码：

 // 插入后的重排序，a为新数组，k为新插入元素的下标   
 void MinHeapFixup(int a[], int k)
    {
         while (k > 1) {
            int j = (k -1) / 2; // 找到当前节点的父节点坐标
            if (a[j] < a[k])
                break;
            int tmp = a[j];  a[j] = a[k]; a[k] = tmp;
            k = j;
        }
    }

 

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堆的删除

按定义，堆中每次都只能删除第0个数据。为了便于重建堆，实际的操作是将最后一个数据的值赋给根结点（这一步没有任何问题吧）。然后再从根结点开始进行一次从上向下的调整。调整时先在左右儿子结点中找最小的，如果父结点比这个最小的子结点还小说明不需要调整了，反之将父结点和它交换后再考虑后面的结点。相当于从根结点将一个数据的“下沉”过程。

流程图，以序列{13,38,27,49,76,65,49,97}为例：

下面给出如何进行调整的代码：MinHeapFixdown将指定节点构造成堆结构，同时确保发生交换后仍然能保证子节点满足堆结构，以上图为例，将节点97及其子节点38，27构造成堆结构，首先交换97，27。在原先27的位置发生了交换变为了97，此时就要保证节点97及其子节点65，49仍满足堆结构，重复上述步骤，直至都满足堆结构。

    //  从i节点开始调整,n为节点总数 从0开始计算 i节点的子节点为 2*i+1, 2*i+2
    void MinHeapFixdown(int a[], int i, int n)
    {
        int j, temp;
     
        temp = a[i];
        j = 2 * i + 1;
        while (j < n)
        {
            if (j + 1 < n && a[j + 1] < a[j]) //在左右孩子中找最小的
                j++;
     
            if (a[j] >= temp)
                break;
     
            a[i] = a[j];     //把较小的子结点往上移动,替换它的父结点
            i = j;
            j = 2 * i + 1;
        }
        a[i] = temp;
    }



    //在最小堆中删除数
    void MinHeapDeleteNumber(int a[], int n)
    {
	    Swap(a[0], a[n - 1]);
	    MinHeapFixdown(a, 0, n - 1);
    }

 

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堆化数组

有了堆的插入和删除后，再考虑下如何对一个数据进行堆化操作。要一个一个的从数组中取出数据来建立堆吧，不用！先看一个数组，如下图：

很明显，对于所有叶子结点来说，可以认为它已经是一个合法的堆了，不需要调整，即20，60， 65， 4， 19都分别是一个合法的堆。所以我们需要关注的只是非叶子节点，从下至上检查每一个非叶子节点是否符合堆结构。我们知道一棵完全二叉树的最后一个非叶子结点的索引为n/2 -1（n为总元素个数）

这里我们从最后一个非叶子节点A[4]=50开始向下调整就可以了。然后再取A[3]=30，A[2] = 17，A[1] = 12，A[0] = 9分别作一次向下调整操作MinHeapFixdown就可以了。下图展示了这些步骤：

PS：上图其实不太具有代表性，可能会让人产生一定误解。如果将原数组中12换成大于30的数，比如40，那么c图中，除了将40与4交换位置外，还要把40和30交换位置。即MinHeapFixdown操作除了构造指定节点为堆结构外，还要确保其子节点（以及子节点的子节点...整条线）也满足对堆结构的。

写出堆化数组的代码：

    //建立最小堆
    void MakeMinHeap(int a[], int n)
    {
        for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--)
            MinHeapFixdown(a, i, n);
    }

至此，堆的操作就全部完成了，再来看下如何用堆这种数据结构来进行排序。

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堆排序

将堆结构中的数据进行排序。

首先可以看到堆建好之后堆中第0个数据是堆中最小的数据。取出这个数据再执行下堆的删除操作。这样堆中第0个数据又是堆中最小的数据，重复上述步骤直至堆中只有一个数据时就直接取出这个数据。

由于堆也是用数组模拟的，故堆化数组后，第一次将A[0]与A[n - 1]交换，再对A[0…n-2]重新恢复堆。第二次将A[0]与A[n – 2]交换，再对A[0…n - 3]重新恢复堆，重复这样的操作直到A[0]与A[1]交换。由于每次都是将最小的数据并入到后面的有序区间，故操作完成后整个数组就有序了。有点类似于直接选择排序。

    void MinheapsortTodescendarray(int a[], int n)
    {
        for (int i = n - 1; i >= 1; i--)
        {
            Swap(a[i], a[0]);
            MinHeapFixdown(a, 0, i);
        }
    }

注意使用最小堆排序后是递减数组，要得到递增数组，可以使用最大堆。

由于每次重新恢复堆的时间复杂度为O(logN)，共N - 1次重新恢复堆操作，再加上前面建立堆时N / 2次向下调整，每次调整时间复杂度也为O(logN)。二次操作时间相加还是O(N * logN)。故堆排序的时间复杂度为O(N * logN)。STL也实现了堆的相关函数，可以参阅《STL系列之四 heap 堆》。