26、逻辑表构建的终止性研究

逻辑表构建的终止性研究

在逻辑推理和证明的领域中，构建逻辑表是一种重要的方法。然而，某些构建过程可能不会终止，这给证明的完整性和有效性带来了挑战。本文将探讨逻辑表构建过程的终止性问题，并介绍几种改进的构建程序。

1. 逻辑表构建与终止性问题

在逻辑表构建中，最初的程序 P1 可能不会终止。例如，对于公式 ⊕¬♦□♦X 的 (B, 3)-表构建，程序 P1 就无法终止。为了解决这个问题，我们需要对程序进行修改，以确保构建过程能够终止。

2. 终止程序 P2

对于 I ∈{K, T, KTB, B}，我们对程序 P1 进行了修改，得到了终止程序 P2。具体修改方式如下：
- 如果一个 N - 前缀合式公式（N - prefixed wff），例如 σψ，本应添加到分支末尾，但发现它已经出现在同一分支上，那么就不再添加。
- 系统的 ν - 规则也需要修改。当在包含 σν 的分支上引入新的 N - 前缀 σ′，且 (σ, σ′) ∈RI
n，char(σ) = char(σ′) = n，并且分支上没有 σ′ν0 的出现时，我们将 σ′ν0 添加到分支末尾，但不再添加 σν 的新出现。

通过这种修改，我们可以确保构建过程不会无限循环，同时不会丢失用于构建反模型以证明完整性定理的信息。例如，对于公式 ⊕¬♦□♦X 的 (B, 3)-表构建，程序 P2 能够终止。

3. 相关定义和引理

为了证明程序 P2 对于 I ∈{K, T, KTB, B}的终止性，我们引入了一些重要的定义和引理。
- w - 长度和 t - 长度 ： <