21、多源近似系统与动态信息系统解析

多源近似系统与动态信息系统解析

1. 可判定片段

在逻辑研究中，我们会关注一些特定形式的合式公式（wff）的可判定性。根据一阶逻辑的表示方法，合式公式α可分为Σ₀⁰、Σ₀¹或Σ₀²三种类型，具体形式如下：
- Σ₀⁰型：形式为β，其中β不包含任何量词。
- Σ₀¹型：形式为∃x₁∃x₂ · · · ∃xₙβ。
- Σ₀²型：形式为∃x₁∃x₂ · · · ∃xₙ∀y₁∀y₂ · · · ∀yₘβ。

有如下重要命题：
- 命题45 ：对于Σ₀⁰型合式公式α∈F，设M := (F, V, I)和M′ := (F′, V, I′)是两个具有相同定义域U的MSASD解释，v和v′是两个赋值，且对于所有t∈Con({α}) ∪ V ar({α})，有R˜v(t) = R ˜v′(t)。那么对于所有w∈U，M, v, w |= α当且仅当M′, v′, w |= α。
- 命题46 ：设α是一个Σ₀²型合式公式，分别有n个存在量词和m个全称量词，z₁, z₂, . . . , zᵣ是α中出现的所有自由变量的完整列表。如果α在α - 标准解释M := (F, V, Iα)中是可满足的，那么它在MSASD解释M′ := (F′, V, Iα)中也是可满足的，其中F′中出现的每个关系也在F中出现，且|F′| = k + n + r，k是使得cₖ∈Con({α})的最大整数。

通过定理3、6和命题46，我们得到定理9：Σ₀²型合式公式的可满足性是可判定的。

不过，对于其他类型的合式公式情况有所不同。例如，对于合式公式∀y∃x⟨y⟩⟨x⟩p（p是一个命题变量