20、多源近似系统及相关逻辑研究

多源近似系统及相关逻辑研究

1. 逻辑关系与翻译

在多源近似系统的逻辑研究中，我们有如下重要结论。若 $T_2(\alpha)$ 是逻辑系统 LMSASD 的有效合式公式（wff），那么 $\alpha \in \Lambda$ 是模态系统 S5 的定理。这是因为每个等价框架也是只有一个关系的 MSASD，$T_2(\alpha) \in F_w$ 在等价框架 $(U, R)$ 中有效，当且仅当 $\alpha \in \Lambda$ 在 $(U, R)$ 中有效。

从相关命题可知，弱下近似和强上近似的逻辑介于经典模态系统 MTS4 和模态系统 S5 之间，但该系统的确切公理化形式仍是一个待解决的问题。

接下来看 LMSASD 与认知逻辑的关系。考虑具有 $n$ 个主体的认知逻辑 $S5D_n$，其中有知识算子 $K_i$（$i \in N = {1, \ldots, n}$）和群体分布式知识算子 $D_G$。定义从 $S5D_n$ 的合式公式到 LMSASD 的翻译 $T_3$，它将 $K_i\alpha$ 和 $D_{ {i_1,i_2,\ldots,i_m}}\alpha$ 分别转换为 $[c_i]T_3(\alpha)$ 和 $[c_{i_1} * \cdots * c_{i_m}]T_3(\alpha)$。

设 $\Gamma := {T_3(\alpha) : \alpha$ 是 $S5D_n$ 的合式公式 $}$，并定义一个满射 $\Phi$ 从所有 $\Gamma$ - 标准解释到形如 $(U, {R_i}_{i\in N}, V)$ 的结构集合，其中每个 $R_i$ 是 $U$ 上的等价关系，$V : PV \to 2^U