18、多源近似系统与信息可定义性及依赖性分析

多源近似系统与信息可定义性及依赖性分析

1. 多源近似系统基础

在多源近似系统的研究中，有一个重要的命题：设 $(U, R)$ 是一个 $U$ 为有限集的容差近似空间，那么存在一个多源近似系统描述（MSASD）$F$ 使得 $R_F = R$。其证明过程如下：
对于每一对 $x, y \in U$ 且 $(x, y) \in R$，考虑集合 $A_{xy} = {(x, y)} \subseteq U \times U$。将所有这样的 $A_{xy}$ 枚举为 $A_1, A_2, \ldots, A_n$。在 $U$ 上定义等价关系 $R_1, R_2, \ldots, R_n$，使得 $U/R_i = { {x, y} : (x, y) \in A_i} \cup { {z} : z \neq x, z \neq y}$。显然，$R = R_1 \cup R_2 \cup \ldots \cup R_n$。设 $N = {1, 2, \ldots, n}$，考虑 MSASD $F := (U, {R_P} {P \subseteq N})$，其中 $R_P := \bigcap {i \in N} R_i$，可以得出 $R_F = R$。

在容差近似空间 $(U, R_F)$ 中，对于任意 $X \subseteq U$，有标准定义：
- $X_{R_F} := {x : R_F(x) \subseteq X}$
- $\overline{X} {R_F} := {x : R_F(x) \cap X \neq \varnothing}$，其中 $R_F(x) = {y : (x, y) \in R_