14、覆盖粗糙集、形式拓扑与多源近似系统的逻辑研究

覆盖粗糙集、形式拓扑与多源近似系统的逻辑研究

1. 覆盖粗糙集相关结论

在覆盖相关的算子研究中，基于覆盖的恰当算子是由 CPS ⟨U, C, R⟩ 诱导的，而非 SRS ⟨U, U, RC⟩。当从基于覆盖 C 元素的算子转变为基于 RC 的算子时，就从覆盖领域进入了由预序定义的算子领域。关于基于预序的粗糙集，已有大量文献研究。

覆盖与容差关系存在严格但并非唯一的联系。有文献引入了单射覆盖的概念来研究覆盖与容差关系。用特定术语来说，集合 U 的覆盖 C 若对于所有 x, y ∈ U，⟨i⟩(x) = ⟨i⟩(y) 意味着 x = y，则称 C 为单射覆盖。例如，{ {a}, {b, c}} 是代表性、一元且约简的，但不是单射的；而 { {a, b}, {a, c}, {a, b, c}} 是单射的，但既不是代表性的，也不是一元的。

用四个基本构造器解释基于覆盖的近似算子具有实际意义，因为这些构造器易于计算。

1.1 构造器的对偶性

在任何 SRS P 中，⟨e⟩ 和 [e] 是对偶的，⟨i⟩ 和 [i] 也是对偶的。证明如下：
- 对于 ⟨e⟩ 和 [e] 的对偶性：
- −R⌣(−A) = {x : R(x) ⊆ A}（即：−⟨e⟩(−A) = e ）
- −R⌣(−A) = −{x : x ∈ R⌣(−A)} = −{x : ∃y(y ∉ A ∧ x ∈ R⌣(y))}
- = {x : ¬∃y(y ∉ A ∧ x ∈ R⌣(y))}
- = {x : ∀y¬(y ∉ A ∧ x ∈