47、最大孤立团枚举算法解析

最大孤立团枚举算法解析

1. 引言

在图论相关研究中，枚举最大孤立团是一个具有挑战性的问题。不同的团可能会产生相同的 τ - 孤立团，这就需要处理排除重复解的问题，而这并非易事。本文提出了一种基于标准深度优先团搜索的算法，逐步添加候选顶点来扩展团。同时，展示了最大 τ - 孤立团的一些理论性质，基于扩展团来检测解的必要条件，能在搜索过程中剪去许多不可能产生解的无用团。

2. 预备知识

• 无向图表示 ：无向图 $G$ 表示为 $G = (V, Γ)$，其中 $V = {v_1, …, v_{|V|}}$ 是顶点集，$Γ(v)$ 是与顶点 $v \in V$ 相邻的顶点集，且 $v \notin Γ(v)$。顶点 $v$ 的度记为 $deg(v) = |Γ(v)|$。对于顶点集 $X \subseteq V$ 和顶点 $v \in X$，$Γ(v) \cap X$ 记为 $Γ_X(v)$，其大小记为 $deg_X(v)$。
• 团的定义 ：若顶点集 $X \subseteq V$ 中任意两个顶点都相邻，则 $G[X]$ 称为图 $G$ 中的一个团，常简记为 $X$。
• 候选顶点 ：对于团 $X \subseteq V$ 和顶点 $v \in (V \setminus X)$，若 $X \cup {v}$ 构成团，则 $v$ 称为 $X$ 的候选顶点，$X$ 的候选顶点集记为 $Cand(X)$。并且对于任意两个团 $X, Y \subseteq V$，若 $X \subseteq Y$，则 $Cand(X) \su