68、平面化对图宽度参数的影响

平面化对图宽度参数的影响

1. 新结果概述

在图论研究中，我们关注图的各种深度参数在图进行平面化操作后的变化情况。这里选择能使参数值最小化的平面化方式。研究发现，对于树宽（treewidth）、路径宽（pathwidth）、分支宽（branchwidth）、树深度（tree - depth）和团宽（clique - width）这些参数，存在参数值有界的图，其所有平面化图的参数值为 $\Omega(n)$。具体来说，这类图可以选择完全二部图 $K_{3,n}$。而对于带宽（bandwidth）、割宽（cutwidth）和雕刻宽（carving width），参数值有界的图都存在线性规模的平面化图，且这些平面化图的对应参数值仍然有界。对于有界度图的树宽、路径宽、分支宽和团宽，同样存在线性规模且参数值有界的平面化图。

以下是不同参数在平面化后的情况总结：
| 参数 | 有界参数图的平面化情况 |
| ---- | ---- |
| 树宽、路径宽、分支宽、树深度、团宽 | 存在参数有界图，其平面化图参数值为 $\Omega(n)$ |
| 带宽、割宽、雕刻宽 | 有界参数图有线性规模且参数有界的平面化图 |
| 有界度图的树宽、路径宽、分支宽、团宽 | 有线性规模且参数有界的平面化图 |

2. 树宽、分支宽、路径宽、树深度和团宽

在这部分，我们将证明 $K_{3,n}$ 的所有平面化图都具有高宽度。首先需要计算 $K_{3,n}$ 的交叉数。这里用到一个交叉数的变体 $cr_{pair}(G)$，它定义为交叉边对的最小数量（允许边多次交叉，但每种情况只计一次交叉），而非通常定义的边交叉点的数量 $cr(G)$。