67、图的平面化与宽度参数研究

图的平面化与宽度参数研究

在图论的研究中，图的平面化以及宽度参数是两个重要的概念。本文将深入探讨图的平面化对各种宽度参数的影响，并且介绍相关的理论和算法。

1. 最大外k - 拟平面图的边数

对于最大外k - 拟平面图 $G = (V, E)$，其边数 $|E|$ 满足以下关系：
[
|E| =
\begin{cases}
\binom{|V|}{2}, & \text{如果 } |V| \leq 2k - 1 \
2(k - 1)|V| - \binom{2k - 1}{2}, & \text{如果 } |V| \geq 2k - 1
\end{cases}
]

2. 扩展一元二阶逻辑（MSO2）中的封闭凸图绘制

在MSO2中，我们可以表达图的一些性质。MSO2是二阶逻辑的一个子集，由以下基本元素构建而成：
- 顶点、边、顶点集和边集的变量；
- 二元关系：相等（=）、集合成员关系（∈）、集合包含关系（⊆）和边 - 顶点关联关系（I）；
- 标准命题逻辑运算符：¬、∧、∨、→；
- 标准量词（∀、∃），可应用于所有类型的变量。

对于图 $G$ 和MSO2公式 $\varphi$，我们用 $G \models \varphi$ 表示 $\varphi$ 可以被 $G$ 以明显的方式满足。Courcelle定理指出，对于任意整数 $t \geq 0$ 和长度为 $\ell$ 的MSO2公式 $\varphi$，可以构造一个算法，该算法接受树宽至多为 $t$ 的图 $G$，并在 $O(f(t, \ell) \cdot