66、超越外平面图：外 k - 平面图与外 k - 准平面图的研究

超越外平面图：外 k - 平面图与外 k - 准平面图的研究

在图论领域，外平面图是一类重要的图结构。而外 k - 平面图和外 k - 准平面图则是对外平面图的进一步拓展，它们在理论研究和实际应用中都具有重要意义。本文将深入探讨这两类图的性质、识别算法以及它们与平面图的关系。

外 k - 平面图的性质

外 k - 平面图具有一些独特的性质，这些性质为我们理解和处理这类图提供了重要的理论基础。

1. 退化性与色数

   • 每个外 k - 平面图都是 (O(\sqrt{k})) 退化的，这意味着它的每个子图都有一个度数不超过 (O(\sqrt{k})) 的顶点。具体来说，外 k - 平面图有一个顶点的度数最多为 (\sqrt{4k + 1} + 1)。
   • 外 k - 平面图的色数可以通过这个最大最小度数来紧密界定。定理表明，每个外 k - 平面图是 (\sqrt{4k + 1} + 2) 可着色的，并且这个界是紧的。这一结论基于两个引理：
     • 引理 1：每个外 k - 平面团最多有 (\lfloor\sqrt{4k + 1}\rfloor + 2) 个顶点。
     • 引理 2：外 k - 平面图的最大最小度数最多为 (\sqrt{4k + 1} + 1)，并且这个界是紧的。

2. 分离数与树宽

   • 外 k - 平面图的分离数最多为 (2k + 3)。这意