65、图绘制中的平面性拓展研究

图绘制中的平面性拓展研究

在图绘制领域，传统的平面性研究逐渐拓展到了允许边交叉的情况，以生成更具结构和可理解性的图形。本文将深入探讨两类图：k - 间隙平面图（k - gap - planar graphs）以及外 k - 平面图（outer k - planar graphs）和外 k - 拟平面图（outer k - quasi - planar graphs），并分析它们的性质、关系及相关问题。

1. k - 间隙平面图

• 问题构建与复杂度
  • 为了确定图的 1 - 间隙平面性，通过添加一个顶点 (w) 连接到图 (G_t) 和 (G_b) 的所有附着顶点，使得横向路径必须位于特定区域 (r_1) 内，从而完成图 (G_A) 的构建。
  • 证明了 1 - 间隙平面性问题（1GapPlanarity）是 NP 完全的。对于输入图的旋转系统固定的情况（1GapPlanarityWithRotSys），同样证明了该问题是 NP 完全的。
• 与其他图类的关系
  • 定理阐述 ：对于任意整数 (k \geq 1)，有 ((2k)) - 平面图 (\subsetneq) (k) - 间隙平面图 (\subsetneq) ((2k + 2)) - 拟平面图。
  • 证明过程
    • 引理 4 ：所有 (k) - 间隙平面绘制都是