64、图论中的间隙平面性：理论与应用

图论中的间隙平面性：理论与应用

在图论领域，间隙平面性是一个重要的研究方向，它为理解图的结构和性质提供了新的视角。本文将深入探讨间隙平面性的相关概念、定理以及应用，包括 k - 间隙平面性的定义、图的边密度上限、完全图的 1 - 间隙平面性以及 1 - 间隙平面性的识别问题。

1. 基本概念

• 间隙边与 k - 间隙平面性 ：至少有一个间隙的边称为间隙边，否则为无间隙边。如果一个图的绘制允许进行 k - 间隙分配，则该绘制是 k - 间隙平面的；如果一个图具有 k - 间隙平面的绘制，则该图是 k - 间隙平面的。特别地，0 - 间隙平面图与平面图是等价的，并且 k - 间隙平面性具有单调性，即 k - 间隙平面图的每个子图都是 k - 间隙平面的。
• 性质 1 ：设 Γ 是图 G = (V, E) 的 k - 间隙平面绘制。对于任何 E′ ⊆ E，Γ[E′] 中最多有 k · |E′| 个交叉。
• 性质 2 ：一个图是 k - 间隙平面的，当且仅当它允许一个绘制，其交叉图的伪树度最多为 k。

2. k - 间隙平面图的边密度

• 定理 1 ：具有 n ≥ 3 个顶点的 k - 间隙平面图最多有 O(√k · n) 条边。证明过程基于图的交叉数的下界和性质 1 得到的不等式。
• k = 1 时的改进上限 ：对于 k = 1 的情况，通过结合 Pach 等人的结果和性质