63、1 - 扇束平面和 k - 间隙平面图研究

1 - 扇束平面和 k - 间隙平面图研究

在图论的研究领域中，对于非平面图的表示和性质研究一直是一个重要的方向。“超越平面图”这一概念应运而生，它指的是那些可以通过一些禁止的边交叉模式来表示的非平面图。本文将重点介绍 1 - 扇束平面（1 - fbp）图和 k - 间隙平面图的相关研究成果。

1 - 扇束平面图的 NP 完全性

在研究图的绘制问题时，我们关注的是给定一个图 (G) 和一个固定的旋转系统 (R)，判断 (G) 是否存在一个保持 (R) 的单面或双面 1 - fbp 绘制。

定理表明，给定图 (G) 和固定旋转系统 (R)，判断 (G) 是否存在保持 (R) 的单面或双面 1 - fbp 绘制是一个 NP 完全问题。证明过程中，成员属于 NP 类可以参考扇平面性的证明方法。而对于 NP 困难性的证明，我们采用了从 3 - 划分问题的归约，类似于 Bekos 等人在扇平面性问题中的归约方法。

3 - 划分问题的一个实例 (\langle A, B\rangle) 由一个整数 (B) 和一个包含 (3m) 个正整数的集合 (A = {a_1, \ldots, a_{3m}}) 组成，这些正整数的取值范围在 ((\frac{B}{4}, \frac{B}{2})) 内，并且满足 (\sum_{i = 1}^{3m} a_i = mB)。问题的核心是判断 (A) 是否可以被划分为 (m) 个子集，每个子集包含 3 个元素，且每个子集内元素的和为 (B)。

在归约过程中，关键的是障碍小装置（barrier gadget），它是一个子图，其边不能被其他边交叉。这个小装置用于构建一个围绕构造的墙和其内部的一组障碍物。障碍物（和墙）之间的边限