60、画家问题：用彩色连通多边形覆盖网格

画家问题：用彩色连通多边形覆盖网格

1. 带孔紫色区域的处理

在一些图形处理场景中，会遇到带孔的紫色区域，这里以环形紫色区域为例进行分析。
- 环形区域的基本概念 ：设 (P) 为一个紫色环形区域，任何着色方式会将 (P) 划分为多个彩色简单组件。每个颜色 (c) 的组件会连接 (P) 边界上一个或多个相同颜色 (c) 的区域。着色的存在性仅由这些组件的连通结构决定，连通性可以用一组不相交的简单路径（连接）来表示，每个路径连接边界上的两个区域。
- 交叉环形连接 ：交叉环形连接 (\gamma_x) 是环形内部区域 (x_{in}) 和外部区域 (x_{out}) 之间的连接。一个（连通）结构是 (P) 中一组最大的（两两不相交）连接，且可以扩展为有效着色。设 (C_S) 是给定结构 (S) 中的交叉环形连接集合。假设环形区域非退化，即环形内外都存在红色和蓝色区域。
- 相关引理及证明
- 引理 5 ：如果存在一个结构 (S)，其中有两个相邻的相同颜色的交叉环形连接 (\gamma_x) 和 (\gamma_y)（可能被非交叉连接分隔），那么也存在一个结构 (S’)，使得 (C_{S’} = C_S \setminus {\gamma_y})。
- 引理 6 ：如果存在一个结构 (S)，其中 (|C_S| > 3) 且所有交叉环形连接颜色交替，那么也存在一个结构 (S’)，其交叉环形连接数量为 (|C_S| - 2)。
证明过程如下：设 (\gamma_u, \gam