59、图的平面性测试与网格涂色问题研究

图的平面性测试与网格涂色问题研究

1 NodeTrix 平面性测试

1.1 基本概念与条件

在研究图的平面性时，对于图的骨架（skel）中的顶点 (v)，存在排列 (\pi_v) 使得内部序列 (ISeq(\nu_0, v, \pi_v), ISeq(\nu_1, v, \pi_v), \ldots, ISeq(\nu_{h - 1}, v, \pi_v)) 按顺时针顺序围绕 (v) 排列。同时，骨架中每个顶点 (v) 都可分配排列 (\pi_v)，当 (v = s_{\mu}) 时，(\pi_v = \pi_{s_{\mu}})；当 (v = t_{\mu}) 时，(\pi_v = \pi_{s_{\mu}})，并且对于骨架中对应于 (\mu) 的子节点 (\nu) 的虚拟边 (e = (u, v))，排列对 ((\pi_u, \pi_v)) 与 (\nu) 兼容。

当最大簇大小 (k = 2) 时，骨架中顶点 (v) 所诱导的簇 (V_v) 只有两种可能的排列，分别记为 (\pi^+ v) 和 (\pi^-_v)。为了测试 ((\pi {s_{\mu}}, \pi_{t_{\mu}})) 是否为 (\mu) 的兼容对，我们从 (s_{\mu}) 开始遍历骨架。排列 (\pi_{s_{\mu}}) 和与 (s_{\mu}) 相邻的边的顺时针顺序会限制与 (s_{\mu}) 相邻且对应于图 (G) 的非平凡簇的每个顶点 (w) 只能选择 (\pi^+ w) 或 (\pi^-_w) 中的一个排列。每个这样的顶点 (w) 及其相邻边会将可能排列的约束传播到其邻居，直到到达 (t {\mu})。因此，测试 (\pi_{s_{\mu}})