56、有向图的平面L绘制研究

有向图的平面L绘制研究

1. 平面L绘制的基本判定

给定一个有向平面图 $G$，对于每条边 $e$ 有标签 $out(e) \in {top, bottom}$ 和 $in(e) \in {right, left}$，可以在线性时间内判定 $G$ 是否存在一个平面L绘制，使得每条边 $e$ 从其尾部的 $out(e)$ 位置离开，并从其头部的 $in(e)$ 位置进入。
判定过程如下：
- 首先，检查顶点周围边的循环顺序是否与标签兼容。标签决定了顶点周围的弯曲和角度，即对于每条边 $e = (v, w)$ 和每个关联面 $f$ 的 $x_{v}^{fe} + x_{w}^{fe}$，以及对于每个顶点 $v$ 和每个与面 $f$ 的关联的 $x_{vf}$。
- 接着，检查这些值是否满足条件1、2和3′。
- 为了检查条件4，先将顶点 $v$ 的每个端口除中间边外的所有边分配给 $v$（端口的中间边是按顺时针顺序向左弯曲的最后一条边或向右弯曲的第一条边），检查是否有边被多次分配。
- 中间边的分配可以转化为一个最大度为2的二分图匹配问题，其中一侧的节点是有两条中间边的端口，另一侧的节点是未分配的边。

2. 向上和向上向右的平面L绘制

2.1 通过双调st排序进行刻画

刻画允许L绘制的平面有向图是一个难以实现的目标，但可以通过双调st排序来刻画平面L绘制的两个自然子类。
定理表明，一个平面st图允许向上（向上向右）平面L绘制，当且仅当它允许一个双调（单调递减）对。
- 证明思路 - “⇒” ：设 $G = (V, E)$ 是一个有 $n$ 个顶点的s