55、平面有向图的非交叉路径与 L 绘制研究

平面有向图的非交叉路径与 L 绘制研究

在图论和图绘制领域，非交叉路径和特定标准的图绘制是重要的研究方向。本文将探讨两个相关的主题：一是由单位垂直段定义的管的连接问题，二是平面有向图的 L 绘制问题。

1. 管的连接问题

• 定理 3 ：给定一组由单位垂直段定义的管，且任意两个管不形成双重交叉，那么可以在多项式时间内确定是否可以使用任意路径将所有管无交叉地连接起来。
• 开放问题 ：如果允许双重交叉，该问题仍然未解决。不过，研究人员推测这个问题具有 Helly 型性质，这意味着可能存在多项式时间算法。
• 猜想 1 ：如果一组由单位垂直段定义的管不能用任意路径找到解决方案，那么存在一个固定大小的管子子集也没有解决方案。

2. 平面有向图的 L 绘制

2.1 研究背景与定义

• L 绘制定义 ：在有向图的 L 绘制中，每个顶点 v 被分配到平面上具有唯一整数 x 和 y 坐标的点，每条有向边 (u, v) 由离开 u 的垂直段和进入 v 的水平段组成。边可能重叠但不交叉的 L 绘制称为平面 L 绘制。如果边是 y 单调的，则为向上平面 L 绘制；如果边同时是 x 单调和 y 单调的，则为向上向右平面 L 绘制。
• 与 Kandinsky 模型的关系 ：平面 L 绘制对应于 Kandinsky 模型中的绘制，每条边恰好有一个弯曲，并且每个顶点周围的角度有一