54、地理网络无交叉绘制问题的研究

地理网络无交叉绘制问题的研究

1. 引言

地理网络在生活中无处不在，像公路、铁路、河流网络，航空和超大规模集成电路布线图，互联网上的信息流，以及不同地区之间的货物和人员流动等，都可以有效地可视化为地理网络。地理网络是一种图，其嵌入方式虽已确定，但并非完全固定，图的顶点被限制在平面上的特定区域内，而边可能需要遵循特定路线，也可能不需要。

本文聚焦于一个基本问题：给定一个地理网络，能否将其无交叉地绘制出来？该问题有多种不同的表述形式，差异体现在区域形状、绘制边的曲线类型以及所绘制的图的类型等方面。本文研究的是一种看似简单的变体，即每个区域是单位长度的垂直线段，并且将边绘制为位于对应端点垂直线段凸包内的简单曲线，以迫使边大致保持笔直。

形式上，给定一个图 $G = (V, E)$，对于每个顶点 $v \in V$，有一个单位垂直线段区域 $I_v$。对于每条边 $(u, v) \in E$，将 $(u, v)$ 的“管” $T_{uv}$ 定义为 $I_u \cup I_v$ 的凸包。目标是确定是否可以将每个顶点 $v \in V$ 绘制为 $I_v$ 中的一个点 $p_v$，并将每条边 $e = (u, v) \in E$ 绘制为从 $p_u$ 到 $p_v$ 且位于 $T_{uv}$ 内的路径，使得任意两条路径在内部不相交。

2. 相关工作

• 力导向布局方法 ：针对本文研究问题的某些特定情况，有人提出了力导向布局方法。
• 平面图与地图拟合 ：近期有关于将平面图拟合到平面地图的工作，这与聚类图的 c - 平面性密切相关。