50、无环图的彩色点集嵌入与固定 - 移动二部图的平面绘制

无环图的彩色点集嵌入与固定 - 移动二部图的平面绘制

在图论和图绘制领域，彩色点集嵌入和固定 - 移动二部图的平面绘制是两个重要的研究方向。本文将深入探讨这两个主题，包括相关定理、引理的证明，以及不同情况下问题的复杂度分析和解决方法。

无环图的彩色点集嵌入

• 定理 4 ：设 $F$ 是一个由 $h$ 个星组成的 $k$ 色森林，$S$ 是与 $F$ 兼容的点集。若 $\max{k, h} = 2$，则 $F$ 在 $S$ 上存在一个曲线复杂度至多为 2 的 $k$ 色点集嵌入。
• 推论 2 ：对于足够大的 $n$，一个 3 色毛毛虫的 3 色点集嵌入可能需要 $\Omega(n^{\frac{2}{3}})$ 条边，且这些边有 $\Omega(n^{\frac{1}{3}})$ 个弯曲。

路径和毛毛虫的点集嵌入

基于推论 2，我们会思考是否存在 3 色毛毛虫的子类，能保证恒定的曲线复杂度。下面分别对 3 色路径和叶子颜色相同的 3 色毛毛虫进行讨论。

• 引理 7 ：设 $P$ 和 $\sigma$ 是长度 $k > 1$ 的最小平衡对。设 $b_j(P)$ 表示 $P$ 的第 $j$ 位，$b_j(\sigma)$ 表示 $\sigma$ 的第 $j$ 位。则 $b_1(P) \neq b_k(P)$，$b_k(P) = b_1(\sigma)$，且 $b_1(P) = b_k(\sigma)$。
• 引理 8