35、利用谱稀疏化绘制大型图

利用谱稀疏化绘制大型图

1. 谱稀疏化方法概述

谱稀疏化方法在图可视化领域具有重要潜力，它能够在减少图的规模的同时保留其（谱）结构，从而解决图可视化中的规模问题。不过，由于涉及较大的常数，这些结果在图可视化中的实际影响尚不明晰。

1.1 有效电阻概念

在图的谱稀疏化中，“有效电阻”是一个关键概念。将图 (G = (V, E)) 视为一个电气网络，每条边为 (1 - \Omega) 电阻，施加电流后，边 ((u, v)) 上的电压降即为该边的有效电阻 (r_{uv})。有效电阻与图中的通勤距离密切相关，可通过拉普拉斯矩阵的 Moore - Penrose 逆来计算。若 (L^{\dagger}) 是 (L) 的 Moore - Penrose 逆，且 ((u, v) \in E)，则 (r_{uv} = L^{\dagger} {uu} + L^{\dagger} {vv} - 2L^{\dagger}_{uv})。

1.2 图绘制算法

基于谱稀疏化，有两种图绘制算法：
- 随机谱稀疏化（SSS） ：随机选择边，选择概率与边的电阻值成正比。从 (m’) 次随机选择中得到边集 (E’)，由 (E’) 诱导出图 (G) 的子图 (G’) 并绘制。
- 确定性谱稀疏化（DSS） ：选择有效电阻最大的 (m’) 条边构成边集 (E’)，由 (E’) 诱导出图 (G) 的子图 (G’) 并绘制。

在 DSS 和 SSS 中，稀疏化后的图可以使用任何大型图布局算法进行绘制。

2. 实验设置