16、基于 zonotopic Kalman 滤波的故障诊断方法

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原创最新推荐文章于 2026-07-29 15:40:42 发布 85 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

基于 zonotopic Kalman 滤波的故障诊断方法

1. 传感器故障估计方法

1.1 方法概述

设计了两种基于约束 zonotopic Kalman 滤波器的传感器故障估计器，用于处理具有未知但有界噪声的约束系统中的加性传感器故障和乘性传感器故障。该故障估计方法使用约束 zonotopic Kalman 滤波器在正常状态下估计系统状态。通过检查系统输出的真实值是否在相应估计的 zonotopic 集的上下限内来检测故障。通过设计的基于约束 zonotopic Kalman 滤波器的故障估计器完成传感器故障估计。

1.2 方法验证

以锂电池中的数值模型和热模型的传感器故障估计为例，验证了该方法的有效性和可行性。仿真结果表明，该方法具有故障检测速度快和故障估计精度高的优点。此外，比较分析表明，与 ZKF - FE 算法相比，CZKF - FE 算法的保守性更低。

1.3 方法适用性

该故障估计方法还适用于其他具有未知但有界噪声的约束系统的传感器故障估计，并且可以进一步将约束故障估计方法扩展到具有其他故障类型的系统。

2. 带时滞的线性离散时间系统的最优 zonotopic Kalman 滤波器状态估计和故障诊断算法

2.1 问题描述与预备知识

考虑如下带时滞的线性离散不确定系统：
[
\begin{cases}
x(k + 1) = Ax(k)+Ahx(k - h)+Bu(k)+Dw(k)\
y(k) = Cx(k)+Fv(k)
\end{cases}
]
其中，(x(k) \in R^{n_x})、(u(k) \in R^{n_u}) 和 (y(k) \in R^{n_y}) 分别是系统在时刻 (k) 的状态、输入和测量输出向量；(A)、(Ah)、(B)、(D)、(C) 和 (F) 是适当维度的参数矩阵；(h \in Z^+) 表示已知的恒定时间延迟；(w(k) \in R^{n_w}) 和 (v(k) \in R^{n_v}) 分别是系统的未知但有界的过程干扰和测量噪声。

2.2 基本定义和性质

2.2.1 zonotope 的定义

(r) 阶 zonotope (Z \subset R^n)（(n \leq r)）定义为：
[Z = p \oplus G B_r = {z \in R^n : z = p + Gb, b \in B_r} = \langle p, G \rangle]
其中，(B_r = [-1, 1]^r) 是超立方体，(p \in R^n) 是 (Z) 的中心，(G \in R^{n \times r}) 是用于定义 (Z) 形状的生成矩阵。

2.2.2 zonotope 的计算性质

Minkowski 和 ：对于两个 zonotope (Z_1 = \langle p_1, G_1 \rangle \subset R^n) 和 (Z_2 = \langle p_2, G_2 \rangle \subset R^n)，它们的 Minkowski 和也是一个 zonotope，定义为：
[\langle p_1, G_1 \rangle \oplus \langle p_2, G_2 \rangle = \langle p_1 + p_2, [G_1\ G_2] \rangle]
线性映射 ： zonotope (Z = \langle p, G \rangle \subset R^n) 通过 (L \in R^{l \times n}) 的线性映射计算为：
[L \odot \langle p, G \rangle = \langle Lp, LG \rangle]
最小区间包络 ：包含 zonotope (Z = \langle p, G \rangle \subset R^n) 的最小区间包络 (Box(Z) = [z^-, z^+] = {z : z \in Z, z^- \leq z \leq z^+}) 描述为：
[
\begin{cases}
z^- i = p_i - \sum {j = 1}^{r} |G_{i, j}|, i = 1, \cdots, n\
z^+ i = p_i + \sum {j = 1}^{r} |G_{i, j}|, i = 1, \cdots, n
\end{cases}
]
根据上述定义，(Z) 的区间包络也可表示为 (\langle p, rs(G) \rangle)，其中 (rs(G)) 是对角矩阵，且 (rs(G) {ij} = \sum {j = 1}^{r} |G_{i, j}|)，(i = 1, \cdots, n)。

2.2.3 zonotope 的简化操作

简化算子 (\downarrow_s) 可用于简化 zonotope。对于 zonotope (Z = p \oplus G_r \subset R^n)（(n \leq s \leq r)），它可以被一个维度更低、更保守的 zonotope 所界定：
[Z = \langle p, G \rangle \subseteq \langle p, \downarrow_s G \rangle]
(\downarrow_s G) 的实现步骤如下：
1. 通过将矩阵 (G) 的列按欧几里得范数降序重新排列，得到范数递减矩阵 (\downarrow G)：
[\downarrow G = [g_1, g_2, \cdots, g_r], |g_j| 2 \geq |g {j + 1}| 2, j = 1, \cdots, r - 1]
2. 将 (\downarrow G) 分为两部分 (G >) 和 (G_<)，并将 (G_<) 替换为对角矩阵 (rs(G_<) \in R^{n \times n})：
- 如果 (r \leq s)，则 (\downarrow_s G = \downarrow G)。
- 否则，(\downarrow_s G = [G_>, rs(G_<)] \in R^{n \times s})，其中 (G_> = [g_1, \cdots, g_{s - n}])，(G_< = [g_{s - n + 1}, \cdots, g_r])。

2.2.4 其他定义

Frobenius 半径 ： zonotope (Z = \langle p, G \rangle) 的 Frobenius 半径定义为 (G) 的 Frobenius 范数：
[|\langle p, G \rangle| F = |G|_F = \sqrt{tr(G^T G)} = \sqrt{tr(G G^T)}]
在加权情况下，(|G| {F, M} = \sqrt{tr(G^T M G)})，其中 (M \in R^{n \times n}) 是加权对称正定矩阵，(tr(\cdot)) 是矩阵的迹。
协方差 ： zonotope (Z = \langle p, G \rangle) 的协方差定义为 (cov(\langle p, G \rangle) = G G^T)。Frobenius 半径最小化等价于其协方差迹最小化，因此 (J = tr(G G^T) = |G| F^2) 也可作为 zonotope (Z = \langle p, G \rangle) 的大小准则，在加权情况下为 (J_M = tr(M G G^T) = tr(G^T M G) = |G| {F, M}^2)。
矩阵迹的相关运算 ：
[
\begin{align }
tr(A) &= tr(A^T)\
tr(AB) &= tr(BA)\
\frac{\partial tr(A X^T B)}{\partial X} &= A^T B^T\
\frac{\partial tr(A X B X^T C)}{\partial X} &= B X^T C A + B^T X^T A^T C^T
\end{align }
]
其中 (A)、(B)、(C) 和 (X) 是具有适当维度的矩阵。

2.2.5 假设条件

系统的初始状态、过程干扰和测量噪声被限制在 zonotopic 集内：
[
\begin{cases}
x(k - h) \in X(k - h) = \langle p(k - h), G(k - h) \rangle, 0 \leq k \leq h\
w(k) \in W = \langle 0, G_w \rangle, k \geq 0\
v(k) \in V = \langle 0, G_v \rangle, k \geq 0
\end{cases}
]
其中 (p(k - h) \in R^{n_x})、(G(k - h) \in R^{n_x \times n_x})、(G_w \in R^{n_w \times n_w}) 和 (G_v \in R^{n_v \times n_v}) 是已知的常量向量和矩阵。

2.3 带时滞系统的最优 ZKF 设计

2.3.1 最优 ZKF 公式

对于上述带时滞系统，最优 ZKF 的设计如下：
[\hat{x}(k + 1) = A\hat{x}(k)+Ah\hat{x}(k - h)+Bu(k)+Dw(k)+L(k)(y(k) - C\hat{x}(k) - Fv(k))]
其中 (L(k)) 是最优 ZKF 的估计最优增益矩阵，(\hat{x}(k)) 表示时刻 (k) 的估计状态。

2.3.2 不同时间段的状态估计

当 (0 \leq k \leq h) 时 ：
估计状态 (\hat{x}(k + 1)) 包含在 zonotopic 集 (\hat{X}(k + 1) = \langle \hat{p}(k + 1), \hat{G}(k + 1) \rangle) 中，其中：
[
\begin{align }
\hat{p}(k + 1) &= (A - L(k)C)\hat{p}(k)+Ah\hat{p}(k - h)+Bu(k)+L(k)y(k)\
\hat{G}(k + 1) &= [(A - L(k)C)\tilde{\hat{G}}(k)\ Ah\tilde{\hat{G}}(k - h)\ DG_w\ -L(k)FG_v]\
\tilde{\hat{G}}(k) &= \downarrow_s \hat{G}(k)\
\tilde{\hat{G}}(k - h) &= \downarrow_s \hat{G}(k - h)\
\hat{p}(k - h) &= p(k - h)\
\hat{G}(k - h) &= G(k - h)
\end{align }
]
当 (k > h) 时 ：
估计状态 (\hat{x}(k + 1)) 包含在 zonotopic 集 (\hat{X}(k + 1) = \langle \hat{p}(k + 1), \hat{G}(k + 1) \rangle) 中，其中：
[
\begin{align }
\hat{p}(k + 1) &= ((A - L(k)C)\prod_{i = 1}^{h}(A - L(k - i)C)+Ah)\hat{p}(k - h)\
&+(A - L(k)C)\sum_{i = 1}^{h}(\prod_{j = 1}^{i - 1}(A - L(k - j)C)Ah\hat{p}(k - h - i))\
&+(A - L(k)C)\sum_{i = 1}^{h}(\prod_{j = 1}^{i - 1}(A - L(k - j)C)(Bu(k - i)+L(k - i)y(k - i)))\
&+Bu(k)+L(k)y(k)\
\hat{G}(k + 1) &= \left[((A - L(k)C)\prod_{i = 1}^{h}(A - L(k - i)C)+Ah)\tilde{\hat{G}}(k - h)\ H_1(k)\ H_2(k)\ H_3(k)\right]\
H_1(k) &= [H_{11}(k)\ H_{12}(k)\ \cdots\ H_{1h}(k)]\
H_{1i}(k) &= (A - L(k)C)\prod_{j = 1}^{i - 1}(A - L(k - j)C)Ah\tilde{\hat{G}}(k - h - i)\
H_2(k) &= [H_{21}(k)\ H_{22}(k)\ \cdots\ H_{2h}(k)\ DG_w]\
H_{2i}(k) &= (A - L(k)C)\prod_{j = 1}^{i - 1}(A - L(k - j)C)DG_w\
H_3(k) &= [H_{31}(k)\ H_{32}(k)\ \cdots\ H_{3h}(k)\ -L(k)FG_v]\
H_{3i}(k) &= -(A - L(k)C)\prod_{j = 1}^{i - 1}(A - L(k - j)C)L(k - i)FG_v
\end{align }
]
其中，(\tilde{\hat{G}}(k - h) = \downarrow_s \hat{G}(k - h))，(\tilde{\hat{G}}(k - h - i) = \downarrow_s \hat{G}(k - h - i))。

2.3.3 最优增益矩阵设计

当 (0 \leq k \leq h) 时 ：
定义 (\tilde{P}(k) = \tilde{\hat{G}}(k)\tilde{\hat{G}}^T(k))，(Q_v = FG_vG_v^T F^T)，则最优增益矩阵 (L(k)) 设计如下：
[
\begin{align }
L(k) &= AK(k)\
K(k) &= R(k)S^{-1}(k)\
R(k) &= \tilde{P}(k)C^T\
S(k) &= C\tilde{P}(k)C^T + Q_v
\end{align }
]
当 (k > h) 时 ：
定义：
[
\begin{align }
\tilde{P}(k) &= (\prod_{i = 1}^{h}(A - L(k - i)C))\tilde{\hat{G}}(k - h)\tilde{\hat{G}}^T(k - h)(\prod_{i = 1}^{h}(A - L(k - i)C))^T\
\tilde{P} {1i}(k) &= (\prod {j = 1}^{i - 1}(A - L(k - j)C))Ah\tilde{\hat{G}}(k - h - i)\tilde{\hat{G}}^T(k - h - i)A_h^T(\prod_{j = 1}^{i - 1}(A - L(k - j)C))^T\
\tilde{P} {2i}(k) &= (\prod {j = 1}^{i - 1}(A - L(k - j)C))DG_wG_w^T D^T(\prod_{j = 1}^{i - 1}(A - L(k - j)C))^T\
\tilde{P} {3i}(k) &= (\prod {j = 1}^{i - 1}(A - L(k - j)C))L(k - i)FG_vG_v^T F^T L^T(k - i)(\prod_{j = 1}^{i - 1}(A - L(k - j)C))^T\
Q_v &= FG_vG_v^T F^T
\end{align }
]
最优增益矩阵 (L(k)) 设计如下：
[
\begin{align }
L(k) &= AK_1(k)+AhK_2(k)\
K_1(k) &= R_1(k)S^{-1}(k)\
K_2(k) &= R_2(k)S^{-1}(k)\
R_1(k) &= (\tilde{P}(k)+\sum_{i = 1}^{h}(\tilde{P} {1i}(k)+\tilde{P} {2i}(k)+\tilde{P} {3i}(k)))C^T\
R_2(k) &= Ah\tilde{\hat{G}}(k - h)\tilde{\hat{G}}^T(k - h)(\prod {i = 1}^{h}(A - L(k - i)C))^T C^T\
S(k) &= C(\tilde{P}(k)+\sum_{i = 1}^{h}(\tilde{P} {1i}(k)+\tilde{P} {2i}(k)+\tilde{P}_{3i}(k)))C^T + Q_v
\end{align }
]

2.4 算法流程

下面是该算法的 mermaid 流程图：

graph TD;
    A[开始] --> B[初始化参数];
    B --> C{0 <= k <= h?};
    C -- 是 --> D[计算 0 <= k <= h 时的状态估计和增益矩阵];
    C -- 否 --> E[计算 k > h 时的状态估计和增益矩阵];
    D --> F{结束条件满足?};
    E --> F;
    F -- 否 --> G[k = k + 1];
    G --> C;
    F -- 是 --> H[结束];

3. 总结

本文介绍了基于 zonotopic Kalman 滤波的故障诊断方法，包括传感器故障估计方法和带时滞的线性离散时间系统的最优 zonotopic Kalman 滤波器状态估计和故障诊断算法。通过对不同时间段的状态估计和最优增益矩阵的设计，实现了对带时滞系统的有效故障诊断。该方法在传感器故障估计方面具有良好的性能，并且可以应用于多种具有未知但有界噪声的约束系统。

4. 技术点分析

4.1 传感器故障估计方法优势分析

快速故障检测 ：通过检查系统输出真实值是否在估计的 zonotopic 集上下限内来检测故障，这种方式能够及时捕捉到系统输出的异常，从而快速判断是否发生故障。例如在锂电池的数值模型和热模型中，能迅速响应传感器故障的发生。
高精度故障估计 ：利用约束 zonotopic Kalman 滤波器进行状态估计和故障估计，能够更准确地确定故障的大小和位置。与传统方法相比，减少了估计误差，提高了故障估计的精度。
低保守性算法 ：比较分析表明，CZKF - FE 算法相较于 ZKF - FE 算法保守性更低。这意味着 CZKF - FE 算法在故障估计过程中能够更灵活地适应系统的变化，减少不必要的限制，从而获得更准确的估计结果。

4.2 最优 ZKF 设计关键要点

时滞处理 ：在带时滞的线性离散时间系统中，时滞是影响系统状态估计和故障诊断的重要因素。通过对不同时间段（(0 \leq k \leq h) 和 (k > h)）的状态估计和最优增益矩阵的设计，充分考虑了时滞对系统的影响。在 (k > h) 时，通过迭代计算，将时滞的影响逐步纳入到状态估计中，确保了估计的准确性。
增益矩阵优化 ：最优增益矩阵 (L(k)) 的设计是最优 ZKF 的核心。通过最小化 zonotope 的大小指标 (J_M(k + 1) = tr(\hat{G}^T(k + 1)M\hat{G}(k + 1)))，得到了不同时间段下的最优增益矩阵。这些增益矩阵能够根据系统的状态和测量值，自适应地调整滤波器的参数，从而提高状态估计的精度。

4.3 算法复杂度分析

步骤	复杂度分析
初始化参数	主要涉及对系统参数和初始状态的赋值，复杂度为 (O(1))
状态估计和增益矩阵计算（(0 \leq k \leq h)）	涉及矩阵乘法、加法和求逆运算，复杂度为 (O(n^3))，其中 (n) 为矩阵的维度
状态估计和增益矩阵计算（(k > h)）	由于需要进行迭代计算，复杂度相对较高，约为 (O(h \times n^3))，其中 (h) 为时滞
结束条件判断和循环更新	复杂度为 (O(1))

总体而言，该算法的复杂度主要取决于矩阵运算和迭代计算，在处理大规模系统时可能会面临一定的计算压力。

5. 应用场景与扩展

5.1 应用场景

锂电池系统 ：在锂电池的数值模型和热模型中，传感器故障可能会导致电池状态估计不准确，进而影响电池的安全性和性能。本文提出的故障诊断方法能够快速检测和估计传感器故障，为锂电池的管理和维护提供重要支持。
工业控制系统 ：工业控制系统中存在大量的传感器和执行器，传感器故障可能会导致系统失控或产生安全事故。该方法可以应用于工业控制系统的故障诊断，提高系统的可靠性和稳定性。
航空航天领域 ：航空航天系统对可靠性和安全性要求极高，传感器故障可能会危及飞行安全。通过应用本文的故障诊断方法，可以及时发现和处理传感器故障，保障航空航天系统的正常运行。

5.2 方法扩展

其他故障类型 ：本文的故障诊断方法主要针对传感器故障，未来可以将其扩展到其他故障类型，如执行器故障、系统组件故障等。通过对不同故障类型的特征分析，设计相应的故障估计器，实现对多种故障的有效诊断。
非线性系统 ：本文研究的是线性离散时间系统，对于非线性系统，需要进一步研究如何将 zonotopic Kalman 滤波方法应用于非线性系统的故障诊断。可以通过线性化处理或采用非线性滤波方法，提高对非线性系统故障的诊断能力。

6. 总结与展望

6.1 总结

本文详细介绍了基于 zonotopic Kalman 滤波的故障诊断方法，包括传感器故障估计方法和带时滞的线性离散时间系统的最优 zonotopic Kalman 滤波器状态估计和故障诊断算法。该方法通过对系统状态的估计和故障的检测与估计，实现了对带时滞系统的有效故障诊断。在传感器故障估计方面，具有快速故障检测、高精度故障估计和低保守性等优点。通过对算法复杂度的分析，了解了该算法在不同步骤的计算复杂度。同时，探讨了该方法的应用场景和扩展方向，为其在实际工程中的应用提供了参考。