13、基于 zonotopic 卡尔曼滤波的故障诊断与传感器故障估计-优快云博客

基于 zonotopic 卡尔曼滤波的故障诊断与传感器故障估计

1. 电热耦合模型介绍

在研究锂离子电池的电热特性时，涉及到一些关键参数。$R_c$ 是电池核心与表面之间的热阻，$R_u$ 是电池表面与冷却空气之间的对流热阻。$Q_{gen}$ 表示电池核心的发热率，$T_e$ 表示对流的环境温度，$\dot{T}_c$ 和 $\dot{T}_s$ 分别代表核心温度 $T_c$ 和表面温度 $T_s$ 的变化率。

根据 Bernardi 公式，$Q_{gen} = I(U_{oc} - U) = I(R_oI + U_1 + U_2)$。这里，发热率 $Q_{gen}$ 和环境温度 $T_e$ 可视为电热耦合模型的输入，而表面温度测量值 $\overline{T}_s$ 和核心温度测量值 $\overline{T}_c$ 则被看作该模型的输出。

经过离散化处理后，电热耦合模型的状态空间形式如下：
[
\begin{cases}
x_{k + 1} = Ax_k + Bu_k + w_k \
y_k = Cx_k + v_k
\end{cases}
]
其中，$x_k = \begin{bmatrix} T_{c,k}, T_{s,k} \end{bmatrix}^T$，$u_k = \begin{bmatrix} Q_{gen,k}, T_{e,k} \end{bmatrix}^T$，$y_k = \begin{bmatrix} \overline{T} {c,k}, \overline{T} {s,k} \end{bmatrix}^T$，$w_k$ 和 $v_k$ 分别是系统未知但有界的干扰和测量噪声。$\Delta t$ 为采样间隔，并且：
[
A =
\begin{bmatrix}
1 - \frac{\Delta t}{R_cC_c} & \frac{\Delta t}{R_cC_c} \
\frac{\Delta t}{R_cC_s} & 1 - \frac{\Delta t}{R_cC_s} - \frac{\Delta t}{R_uC_s}
\end{bmatrix}
]
[
B =
\begin{bmatrix}
\frac{\Delta t}{C_c} & 0 \
0 & \frac{\Delta t}{R_uC_s}
\end{bmatrix}
]
[
C =
\begin{bmatrix}
1 & 0 \
0 & 1
\end{bmatrix}
]

模拟中正常条件下电池的系统参数如下表所示：
| 参数 | 数值 |
| ---- | ---- |
| $C_c / J K^{-1}$ | 63.5 |
| $C_s / J K^{-1}$ | 4.5 |
| $R_u / K W^{-1}$ | 1.718 |
| $R_c / K W^{-1}$ | 1.98 |

2. 无故障系统模拟

当锂离子电池在正常条件下工作时，核心温度和表面温度满足特定的微分条件，并且核心温度在小范围内波动。具体而言，当系统稳定时，核心温度通常会限制在一定范围内。

在环境温度 $T_e = 25^{\circ}C$ 的正常工作情况下，核心温度与表面温度的差值为 $5.82^{\circ}C \pm 0.05^{\circ}C$，核心温度 $T_c \in [35.8^{\circ}C, 35.9^{\circ}C]$。因此，我们设定：
[
l =
\begin{bmatrix}
0.05 \
0.05
\end{bmatrix}
]
[
D_k =
\begin{bmatrix}
-5.82 \
-35.85
\end{bmatrix}
]
[
H_k =
\begin{bmatrix}
-1 & 1 \
-1 & 0
\end{bmatrix}
]

在模拟中，我们设置初始状态向量 $x_0 = [25, 25]^T$，$p_0 = [25, 25]^T$ 以及 $G_0 = 0.1I_4$。同时，将矩阵 $\downarrow_{re} \overline{G} k$ 的降阶阶数设为 $l = 20$，以限制 zonotopes 生成矩阵的列数。干扰和噪声的范围为 $|w_k| {\infty} \leq 0.001$ 和 $|v_k|_{\infty} \leq 0.1$，模拟采样周期 $\Delta t$ 设定为 1s，系统参数矩阵如下：
[
A =
\begin{bmatrix}
0.992 & 0.0080 \
0.112 & 0.758
\end{bmatrix}
]
[
B =
\begin{bmatrix}
0.0157 & 0 \
0 & 0.1293
\end{bmatrix}
]
[
\overline{C} =
\begin{bmatrix}
1 & 0 \
0 & 1 \
-1 & 1 \
-1 & 0
\end{bmatrix}
]
[
\overline{D}_2 =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
]

模拟结果如图 6.2 所示，展示了系统在不同采样时刻的估计状态与实际状态的对比。其中，zonotope 是可行状态集，黑点代表系统的实际状态。从图中可以看出，所提出的 ZKF 能够很好地在状态约束下估计状态。而且，从坐标轴的尺度可以发现，zonotope 的体积逐渐变小，这意味着随着采样次数的增加，状态估计的准确性更高。从图 6.3 可知，每个采样时刻的实际状态都在可行集内，这表明所提出的方法具有良好的鲁棒性能。

3. 故障系统模拟

根据电池核心和表面温度的状态空间表达式，故障模型可写为：
[
\begin{cases}
x_{k + 1} = Ax_k + Bu_k + w_k \
y_k = Cx_k + v_k + f_k
\end{cases}
]
其中，$f_k = \begin{bmatrix} f_{1,k}, f_{2,k} \end{bmatrix}^T$ 是传感器故障向量。当核心温度传感器发生故障时，$f_{1,k} \neq 0$；当表面温度传感器发生故障时，$f_{2,k} \neq 0$。

在本次模拟中，传感器故障具有以下形式：
[
f_k =
\begin{bmatrix}
f_{1,k} \
f_{2,k}
\end{bmatrix}
=
\begin{cases}
\begin{bmatrix}
0 \
0
\end{bmatrix}, & 0 \leq k < 400 \
\begin{bmatrix}
5 \
0
\end{bmatrix}, & 400 \leq k < 700 \
\begin{bmatrix}
5 \
10
\end{bmatrix}, & k \geq 700
\end{cases}
]

增广系统的参数矩阵如下：
[
\overline{A} =
\begin{bmatrix}
0.992 & 0.0080 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0.112 & 0.758 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
]
[
\overline{D}_1 =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
]
[
\overline{B} =
\begin{bmatrix}
0.0157 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0.1293 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
]
[
C_1 =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \
-1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \
-1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
]
[
E =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
]

通过设置：
[
S =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
]
我们可以计算出矩阵 $T$ 和 $N$ 如下：
[
T =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \
-1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \
0 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \
1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 \
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
]
[
N =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
]

传感器故障及其区间估计结果如图 6.4 所示，实际故障用黑色线条表示。从图中可以快速找到传感器故障发生的时间，即 ZKF 能够快速跟踪实际的传感器故障。对于系统而言，当系统发生故障时，能够快速准确地检测到故障并判断传感器故障的类型。同时，根据故障估计的上下界，我们可以在一定误差范围内获得传感器故障的估计值。图 6.5 展示了不同采样时刻故障估计值与实际故障的对比，zonotope 是故障估计集，圆圈代表系统的实际故障。从图中可以看出，实际故障位于准确但不确定的故障集内，这也证明了该方法在故障诊断方面的准确性。

4. 相关定义与预备知识

在进行传感器故障估计之前，需要了解一些相关的定义和预备知识。

4.1 矩阵迹的相关运算

对于具有适当维度的矩阵 $A$、$B$、$C$ 和 $X$，矩阵迹的相关运算如下：
- $tr(A) = tr(A^T)$
- $tr(AB) = tr(BA)$
- $\frac{\partial tr(AX^TB)}{\partial X} = A^TB^T$
- $\frac{\partial tr(AXBX^TC)}{\partial X} = BX^TCA + B^TX^TA^TC^T$

4.2 区间的基本算术运算

设 $I_a = [a^-, a^+] = {a | a^- \leq a \leq a^+, a^-, a^+ \in R}$ 和 $I_b = [b^-, b^+] = {b | b^- \leq b \leq b^+, b^-, b^+ \in R}$ 表示两个区间，其基本算术运算定义如下：
- $I_a + I_b = [a^- + b^-, a^+ + b^+]$
- $I_a - I_b = [a^- - b^+, a^+ - b^-]$
- $I_a \times I_b = [\min{a^-b^-, a^-b^+, a^+b^-, a^+b^+}, \max{a^-b^-, a^-b^+, a^+b^-, a^+b^+}]$
- $I_a \div I_b = [\min{\frac{a^-}{b^+}, \frac{a^-}{b^-}, \frac{a^+}{b^+}, \frac{a^+}{b^-}}, \max{\frac{a^-}{b^+}, \frac{a^-}{b^-}, \frac{a^+}{b^+}, \frac{a^+}{b^-}}]$（$0 \notin I_b$）

4.3 zonotope 的定义与性质

一个 $r$ 阶 zonotope $Z = \langle p, G \rangle \subset R^n$（$n \leq r$）定义为：
$Z = p \oplus G B_r = {z \in R^n : z = p + G\mathbf{b}, \mathbf{b} \in B_r}$
其中，$|\mathbf{b}| {\infty} \leq 1$，$|\cdot| {\infty}$ 是无穷范数，超立方体 $B_r = [-1, 1]^r$，$p \in R^n$ 是 $Z$ 的中心，$G \in R^{n \times r}$ 是 $Z$ 的生成矩阵。

zonotope 具有以下基本性质：
- 性质 8 ：两个 zonotope $Z_1 = \langle p_1, G_1 \rangle \subset R^n$ 和 $Z_2 = \langle p_2, G_2 \rangle \subset R^n$ 的 Minkowski 和也是一个 zonotope，定义为：
$\langle p_1, G_1 \rangle \oplus \langle p_2, G_2 \rangle = \langle p_1 + p_2, [G_1 \ G_2] \rangle$
- 性质 9 ：zonotope $Z = \langle p, G \rangle \subset R^n$ 通过矩阵 $L \in R^{l \times n}$ 的线性映射计算为：
$L \odot \langle p, G \rangle = \langle Lp, LG \rangle$
- 性质 10 ：一个 zonotope $Z = \langle p, G \rangle \subset R^n$ 可以包含在一个区间壳 $Box(Z) = [z^-, z^+]$ 中：
[
\begin{cases}
z^- i = p_i - \sum {j = 1}^r |G_{i,j}|, & i = 1, \cdots, n \
z^+ i = p_i + \sum {j = 1}^r |G_{i,j}|, & i = 1, \cdots, n
\end{cases}
]
其中，$z^- i$、$z^+_i$ 和 $p_i$ 分别是 $z^-$、$z^+$ 和 $p$ 的第 $i$ 个分量，$G {i,j}$ 表示生成矩阵 $G$ 中第 $i$ 行第 $j$ 列的元素。区间壳 $Box(Z) = [z^-, z^+] = {z : z \in Z, z^- \leq z \leq z^+}$ 是包含集合 $Z$ 的最小盒子，$z^-$ 和 $z^+$ 分别是 $z$ 的下界和上界。根据上述定义，$Z$ 的区间壳也可以表示为 $\langle p, rs(G) \rangle$，其中 $rs(G)$ 是一个对角矩阵，满足：
[
rs(G) =
\begin{bmatrix}
\sum_{j = 1}^r |G_{1,j}| & 0 & \cdots & 0 \
0 & \sum_{j = 1}^r |G_{2,j}| & \cdots & 0 \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
0 & 0 & \cdots & \sum_{j = 1}^r |G_{n,j}|
\end{bmatrix}
]

4.4 zonotope 的降阶操作

对于一个 $r$ 阶 zonotope $Z = p \oplus G B_r \subset R^n$，它可以被一个维度更低的更保守的 zonotope 所界定：
$Z = \langle p, G \rangle \subseteq \langle p, \downarrow_s (G) \rangle$
其中，$\downarrow_s (\cdot)$（$n \leq s \leq r$）是降阶算子，$s$ 指定了降阶后生成矩阵的最大列数。$\downarrow_s (G)$ 的实现步骤如下：
1. 将矩阵 $G$ 的列按欧几里得范数降序排列，生成范数递减矩阵 $\downarrow(G)$：
$\downarrow(G) = [g_1, g_2, \cdots, g_r]$，$|g_j| 2 \geq |g {j + 1}| 2$，$j = 1, \cdots, r$
其中，$|\cdot|_2$ 表示欧几里得范数。
2. 将 $\downarrow(G)$ 分为两部分：$G >$ 和 $G_<$，并用对角矩阵 $rs(G_<) \in R^{n \times n}$ 替换 $G_<$：
- 如果 $r \leq s$，则 $\downarrow_s (G) = \downarrow(G)$。
- 否则，$\downarrow_s (G) = [G_>, rs(G_<)] \in R^{n \times s}$，其中 $G_> = [g_1, \cdots, g_{s - n}]$，$G_< = [g_{s - n + 1}, \cdots, g_r]$。

4.5 Frobenius 半径与协方差

Frobenius 半径可以作为衡量 zonotope $Z = \langle p, G \rangle$ 大小的指标，通常用生成矩阵 $G$ 的 Frobenius 范数表示：
$|\langle p, G \rangle| F = |G|_F = \sqrt{tr(G^TG)} = \sqrt{tr(GG^T)}$
在加权情况下，$|G| {F,M} = \sqrt{tr(G^TMG)}$，其中 $M \in R^{n \times n}$ 是一个加权对称正定矩阵。

zonotope $\langle p, G \rangle$ 的协方差定义为 $cov(\langle p, G \rangle) = GG^T$。通过求解 Frobenius 半径 $|G| F$ 的最小化问题可以得到最小的 zonotope，这等价于最小化其协方差 $cov(\langle p, G \rangle) = GG^T$ 的迹。因此，$J = tr(GG^T) = |G|_F^2$ 可以定义为判断 zonotope 大小的标准，而 $J_M = tr(MGG^T) = tr(G^TMG) = |G| {F,M}^2$ 是加权情况下的判断标准。

5. 问题描述

考虑以下线性离散系统：
[
\begin{cases}
x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) + Ew(k) \
y(k) = Cx(k) + Fv(k)
\end{cases}
]
其中，$x(k) \in R^{n_x}$、$u(k) \in R^{n_u}$ 和 $y(k) \in R^{n_y}$ 分别表示未知状态、已知输入和已知输出。$A$、$B$、$C$、$E$、$F$ 是具有适当固定大小的参数矩阵。$w(k) \in R^{n_w}$ 和 $v(k) \in R^{n_v}$ 是系统未知但有界的过程干扰和测量噪声。

不失一般性，系统的初始状态、过程干扰和测量噪声被限制在 zonotopic 集合中：
$x(0) \in X(0) = \langle p(0), G(0) \rangle$，$w(k) \in W = \langle 0, G_w \rangle$，$v(k) \in V = \langle 0, G_v \rangle$
其中，$|w(k)| \leq \tilde{w}$，$|v(k)| \leq \tilde{v}$，$\tilde{w}$ 和 $\tilde{v}$ 分别是 $w(k)$ 和 $v(k)$ 的限制值。$X(0)$、$W$ 和 $V$ 分别是初始状态、过程干扰和测量噪声的 zonotopic 集合，$p(0)$ 是 $X(0)$ 的中心，$G(0)$ 是 $X(0)$ 的生成矩阵，$G_w$ 和 $G_v$ 分别是 $W$ 和 $V$ 的生成矩阵。

在无故障工作状态下，系统的稳定状态满足约束 $|h(x)| \leq \tilde{h}$，其中 $h(x) = \gamma(k) - H(k)x(k)$，$\tilde{h}$ 是 $h(k)$ 的限制值。因此，考虑系统的约束条件，系统的状态空间方程可以扩展为：
[
\begin{cases}
x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) + Ew(k) \
\overline{y}(k) = \overline{C}x(k) + \overline{F} \overline{v}(k)
\end{cases}
]
其中，$\overline{y}(k) = \begin{bmatrix} y(k) \ \gamma(k) \end{bmatrix} \in R^{n_y + n_{\gamma}}$，$\overline{C} = \begin{bmatrix} C \ H(k) \end{bmatrix} \in R^{(n_y + n_{\gamma}) \times n_x}$，$\overline{F} = \begin{bmatrix} F & 0_{n_y \times n_{\gamma}} \ 0_{n_{\gamma} \times n_v} & I_{n_{\gamma} \times n_{\gamma}} \end{bmatrix} \in R^{(n_y + n_{\gamma}) \times (n_v + n_{\gamma})}$，$\overline{v}(k) = \begin{bmatrix} v(k) \ h(k) \end{bmatrix} \in R^{n_v + n_{\gamma}}$，$|\overline{v}(k)| \leq \tilde{\overline{v}}$，$\tilde{\overline{v}}$ 是 $\overline{v}(k)$ 的限制值，$h(k) \in \langle 0, diag(\tilde{h}) \rangle$，$\gamma(k) \in R^{n_{\gamma}}$。

对于上述具有约束的系统，考虑两种可能的传感器故障：加法传感器故障和乘法传感器故障。

5.1 加法传感器故障

[
\begin{cases}
x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) + Ew(k) \
\overline{y}(k) = \overline{C}x(k) + \overline{F} \overline{v}(k) + \overline{f}(k)
\end{cases}
]
其中，$\overline{f}(k) = [f(k) \ 0_{n_{\gamma}}]^T \in R^{n_y + n_{\gamma}}$，$f(k) \in R^{n_y}$ 是系统中的加法传感器故障。

5.2 乘法传感器故障

[
\begin{cases}
x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) + Ew(k) \
\overline{y}(k) = \overline{f}^{-1}(k) \overline{C}x(k) + \overline{F} \overline{v}(k)
\end{cases}
]
其中，$\overline{f}(k) = \begin{bmatrix} f(k) & 0_{n_y \times n_{\gamma}} \ 0_{n_{\gamma} \times n_y} & I_{n_{\gamma} \times n_{\gamma}} \end{bmatrix}$，$f(k) = \begin{bmatrix} f_1(k) & 0 & \cdots & 0 \ 0 & f_2(k) & \cdots & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \cdots & f_{n_y}(k) \end{bmatrix}$（$f_i(k) \neq 0$，$i = 1, \cdots, n_y$）是系统中的乘法传感器故障，$\overline{f}(k) \in R^{(n_y + n_{\gamma}) \times (n_y + n_{\gamma})}$，$f(k) \in R^{n_y \times n_y}$。

在实际系统中，乘法传感器故障会使系统输出发生变化，从而偏离系统的真实输出。受乘法传感器故障影响，系统输出可能变大或变小。通常，在研究乘法传感器故障时需要假设 $C_ix(k) \neq 0$，因为一旦 $C_ix(k) = 0$，乘法传感器故障对系统将无影响。此外，由于实际工程系统中传感器输出有一定限制，输出 $y(k)$ 不会出现无穷大的情况，因此 $f_i(k) = \frac{C_ix(k)}{y_i(k) - F_iv(k)} \neq 0$，其中 $C_i$、$y_i(k)$ 和 $F_i$ 分别是 $C$、$y(k)$ 和 $F$ 的第 $i$ 行。因此，$f(k)$ 是可逆的。

对于受乘法传感器故障影响的系统，还有另一种表达式：$y(k) = m(k)Cx(k) + Fv(k)$，其中 $m(k) = \begin{bmatrix} m_1(k) & 0 & \cdots & 0 \ 0 & m_2(k) & \cdots & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \cdots & m_{n_y}(k) \end{bmatrix}$ 是系统的乘法传感器故障。然而，本节的主要目的是通过最小化估计状态 $\hat{x}(k)$ 的 zonotopic 集合来获得乘法传感器故障的最小估计区间。使用 $y(k) = m(k)Cx(k) + Fv(k)$ 这种故障表达式时，根据计算规则 $\hat{m}_i(k) = \frac{y_i(k) - F_iv(k)}{C_i \hat{x}(k)}$（$i = 1, \cdots, n_y$）无法合理推导出最小故障估计区间。而根据 $\hat{f}_i(k) = \frac{C_i \hat{x}(k)}{y_i(k) - F_iv(k)}$（$i = 1, \cdots, n_y$），分母的区间仅与 $G_v$ 有关，并且 $G_v$ 在整个故障估计过程中保持不变。因此，通过最小化估计状态 $\hat{x}(k)$ 的 zonotopic 集合可以获得乘法传感器故障的适当估计区间。但这种方法需要假设 $y_i(k) - F_iv(k) \neq 0$，与前一种方法相比多了一个限制条件。不过，$y_i(k) - F_iv(k) = 0$（$i = 1, \cdots, n_y$）是一种特殊情况，当 $y_i(k) - F_iv(k) = 0$ 且 $C_ix(k) \neq 0$ 时，可以很容易得到 $f_i^{-1}(k) = 0$。因此，经过综合考虑，选择乘法传感器故障的表达式为 $y(k) = f^{-1}(k)Cx(k) + Fv(k)$。

6. 约束 zonotopic 卡尔曼滤波器（CZKF）的设计

对于具有约束的系统（6.35），约束条件在系统达到稳定后起作用，形成状态空间方程（6.37）。系统的稳定条件基于 $\frac{|\hat{p}(k + l) - \hat{p}(k + l - 1)|}{|\hat{p}(k + l - 1)|} \leq \delta$（$l = 1, \cdots, L$）是否成立来判断，其中 $L$ 是可选长度，$\delta$ 是可选阈值。这些值的选择会影响系统约束的具体添加时间，对于不同的系统，可以根据实际情况选择不同的值。

当系统稳定时，CZKF 的设计如下：
$\hat{x}(k + 1) = A\hat{x}(k) + Bu(k) + Ew(k) + L(k)(\overline{y}(k) - \overline{C} \hat{x}(k) - \overline{F} \overline{v}(k))$
其中，$L(k)$ 是约束 zonotopic 卡尔曼滤波器的估计最优增益矩阵，$\hat{x}(k)$ 是时间 $k$ 时的估计状态。

6.1 估计状态的推导

假设在时间 $k$ 时估计状态 $\hat{x}(k) \in \hat{X}(k) = \langle \hat{p}(k), \hat{G}(k) \rangle$ 已知，则在时间 $k + 1$ 时的估计状态为：
$\hat{x}(k + 1) \in \hat{X}(k + 1) = \langle \hat{p}(k + 1), \hat{G}(k + 1) \rangle$
其中：
$\hat{p}(k + 1) = (A - L(k) \overline{C}) \hat{p}(k) + Bu(k) + L(k)\overline{y}(k)$
$\hat{G}(k + 1) = [(A - L(k) \overline{C}) \tilde{\hat{G}}(k) \ EG_w \ -L(k) \overline{F} \overline{G}_v]$，$\tilde{\hat{G}}(k) = \downarrow_s \hat{G}(k)$

证明过程如下：
从 $\hat{x}(k + 1) = A\hat{x}(k) + Bu(k) + Ew(k) + L(k)(\overline{y}(k) - \overline{C} \hat{x}(k) - \overline{F} \overline{v}(k))$ 出发，可得：
$\hat{x}(k + 1) = (A - L(k) \overline{C})\hat{x}(k) + Bu(k) + Ew(k) + L(k)\overline{y}(k) - L(k) \overline{F} \overline{v}(k)$
$\in ((A - L(k) \overline{C}) \odot \langle \hat{p}(k), \hat{G}(k) \rangle) \oplus Bu(k) \oplus (E \odot \langle 0, G_w \rangle) \oplus L(k)\overline{y}(k) \oplus (-L(k) \overline{F} \odot \langle 0, \overline{G}_v \rangle)$
$= \langle (A - L(k) \overline{C}) \hat{p}(k) + Bu(k) + L(k)\overline{y}(k), [(A - L(k) \overline{C}) \hat{G}(k) \ EG_w \ -L(k) \overline{F} \overline{G}_v] \rangle$
应用 zonotope 降阶的引理 6.4，可得到对应于 $\hat{G}(k)$ 的复杂度降低矩阵 $\downarrow_s \hat{G}(k)$，从而得到时间 $k + 1$ 时的估计 zonotopic 集合 $\hat{X}(k + 1) = \langle \hat{p}(k + 1), \hat{G}(k + 1) \rangle = \langle (A - L(k) \overline{C}) \hat{p}(k) + Bu(k) + L(k)\overline{y}(k), [(A - L(k) \overline{C}) \tilde{\hat{G}}(k) \ EG_w \ -L(k) \overline{F} \overline{G}_v] \rangle$（$\tilde{\hat{G}}(k) = \downarrow_s \hat{G}(k)$）。

6.2 最优增益矩阵的设计

对于式（6.41）中的 zonotope，通过最小化 $J_M(k + 1) = |\hat{G}(k + 1)|_{F,M}^2 = tr(\hat{G}^T(k + 1)M \hat{G}(k + 1))$ 来设计最优增益矩阵 $L(k)$。定义 $\tilde{P}(k) = \tilde{\hat{G}}(k) \tilde{\hat{G}}^T(k)$，$\overline{Q}_v = \overline{F} \overline{G}_v \overline{G}_v^T \overline{F}^T$，$Q_w = EG_wG_w^T E^T$，可以得到：
$L(k) = AK(k)$，$K(k) = R(k)S^{-1}(k)$，$R(k) = \tilde{P}(k) \overline{C}^T$，$S(k) = \overline{C} \tilde{P}(k) \overline{C}^T + \overline{Q}_v$

证明过程如下：
根据定义 6.5 和 6.6，判断标准 $J_M(k + 1) = |\hat{G}(k + 1)|_{F,M}^2 = tr(\hat{G}^T(k + 1)M \hat{G}(k + 1))$ 可用于确定 zonotope $\hat{X}(k + 1) = \langle \hat{p}(k + 1), \hat{G}(k + 1) \rangle$ 的大小，通过最小化 $J_M(k + 1)$ 可以得到最小的 zonotope。基于式（6.43），在计算 $\hat{G}(k + 1)$ 时只有一个未知矩阵 $L(k)$。根据计算规则，当 $\frac{\partial L(k)J_M(k + 1)}{\partial L(k)} = 0$ 时，$J_M(k + 1)$ 最小，zonotope 的大小也最小，此时 $L(k)$ 被称为最优观测器增益。

从式（6.43）可得：
$\frac{\partial L(k)J_M(k + 1)}{\partial L(k)} = \frac{\partial L(k)tr(\hat{G}^T(k + 1)M \hat{G}(k + 1))}{\partial L(k)}$
$= \frac{\partial L(k)tr(M(A - L(k) \overline{C}) \tilde{P}(k)(A - L(k) \overline{C})^T + MQ_w + ML(k) \overline{Q}_vL^T(k))}{\partial L(k)}$
$= \frac{\partial L(k)tr(M(A \tilde{P}(k)A^T - A \tilde{P}(k) \overline{C}^TL^T(k) - L(k) \overline{C} \tilde{P}(k)A^T + L(k) \overline{C} \tilde{P}(k) \overline{C}^TL^T(k) + L(k) \overline{Q}_vL^T(k)))}{\partial L(k)}$
$= \frac{\partial L(k)tr(M(L(k) \overline{C} \tilde{P}(k) \overline{C}^TL^T(k) + L(k) \overline{Q}_vL^T(k)))}{\partial L(k)} - 2\frac{\partial L(k)tr(MA \tilde{P}(k) \overline{C}^TL^T(k))}{\partial L(k)}$

综上所述，本文介绍了基于 zonotopic 卡尔曼滤波的故障诊断方法，通过对锂离子电池电热耦合模型的模拟，验证了该方法在故障检测和诊断方面的有效性和准确性。同时，详细阐述了传感器故障估计的相关理论和约束 zonotopic 卡尔曼滤波器的设计，为实际系统中的故障诊断和传感器故障估计提供了一种可行的解决方案。

基于 zonotopic 卡尔曼滤波的故障诊断与传感器故障估计

7. 方法总结与优势分析

故障诊断流程总结
1. 建立电热耦合模型：根据电池的物理特性，确定模型的输入（发热率 $Q_{gen}$ 和环境温度 $T_e$）和输出（表面温度测量值 $\overline{T}_s$ 和核心温度测量值 $\overline{T}_c$），并通过离散化得到状态空间形式。
2. 无故障系统模拟：设定初始条件和参数，模拟系统在正常工作状态下的核心温度和表面温度变化，验证模型的准确性和稳定性。
3. 故障系统模拟：引入传感器故障模型，模拟不同类型的传感器故障（加法和乘法传感器故障），通过 ZKF 快速跟踪故障发生时间，判断故障类型，并在一定误差范围内估计故障值。
4. 设计约束 zonotopic 卡尔曼滤波器（CZKF）：考虑系统的约束条件，在系统稳定后添加约束，设计 CZKF 来估计系统状态，通过最小化 zonotope 的大小来确定最优增益矩阵。
方法优势
- 高故障检测效率 ：ZKF 能够快速跟踪实际的传感器故障，及时发现系统中的故障情况。
- 准确的故障诊断 ：可以准确判断传感器故障的类型，并在一定误差范围内估计故障值，为故障修复提供有力支持。
- 低计算复杂度 ：通过合理设计滤波器和降阶操作，降低了计算复杂度，提高了算法的实时性。
- 良好的鲁棒性能 ：从模拟结果可以看出，实际状态始终在可行集内，表明该方法对干扰和噪声具有较强的鲁棒性。

8. 实际应用与拓展

在锂离子电池管理系统中的应用
- 锂离子电池在电动汽车、储能系统等领域广泛应用，电池的温度管理至关重要。通过本文提出的故障诊断和传感器故障估计方法，可以实时监测电池的温度状态，及时发现传感器故障，避免因温度异常导致的电池性能下降和安全问题。
- 在电池管理系统中，可以将 CZKF 集成到控制器中，根据估计的状态和故障信息，调整电池的充放电策略，提高电池的使用寿命和安全性。
拓展到其他领域
- 该方法不仅适用于锂离子电池系统，还可以拓展到其他线性系统的故障诊断和传感器故障估计中，如工业自动化、航空航天等领域。
- 对于非线性系统，可以通过线性化处理后应用该方法，或者结合其他非线性滤波技术进行改进，以提高故障诊断的准确性和可靠性。

9. 总结与展望

总结
本文详细介绍了基于 zonotopic 卡尔曼滤波的故障诊断方法和传感器故障估计理论。通过对锂离子电池电热耦合模型的研究，验证了该方法在故障检测、诊断和传感器故障估计方面的有效性和准确性。同时，设计了约束 zonotopic 卡尔曼滤波器，通过最小化 zonotope 的大小来优化滤波器的性能。该方法具有高故障检测效率、准确的故障诊断和低计算复杂度等优点，为实际系统中的故障诊断和传感器故障估计提供了一种可行的解决方案。
展望
- 进一步优化算法 ：可以研究更高效的降阶算法和最优增益矩阵的计算方法，进一步降低计算复杂度，提高算法的实时性。
- 考虑更多故障类型 ：本文主要考虑了加法和乘法传感器故障，未来可以研究其他类型的故障，如传感器漂移、故障突变等，提高故障诊断的全面性。
- 结合机器学习方法 ：将 zonotopic 卡尔曼滤波与机器学习方法相结合，如神经网络、支持向量机等，利用机器学习的强大学习能力，提高故障诊断的准确性和适应性。

以下是整个方法的流程图：

graph TD;
    A[建立电热耦合模型] --> B[无故障系统模拟];
    B --> C[故障系统模拟];
    C --> D[设计约束 zonotopic 卡尔曼滤波器];
    D --> E[实际应用与拓展];
    E --> F[方法优化与改进];

通过以上的研究和分析，我们可以看到基于 zonotopic 卡尔曼滤波的故障诊断和传感器故障估计方法具有广阔的应用前景和研究价值。在未来的研究中，我们可以不断优化和改进该方法，使其更好地应用于实际系统中。

13、基于 zonotopic 卡尔曼滤波的故障诊断与传感器故障估计

基于 zonotopic 卡尔曼滤波的故障诊断与传感器故障估计

1. 电热耦合模型介绍

2. 无故障系统模拟

3. 故障系统模拟

4. 相关定义与预备知识

4.1 矩阵迹的相关运算

4.2 区间的基本算术运算

4.3 zonotope 的定义与性质

4.4 zonotope 的降阶操作

4.5 Frobenius 半径与协方差

5. 问题描述

5.1 加法传感器故障

5.2 乘法传感器故障

6. 约束 zonotopic 卡尔曼滤波器（CZKF）的设计

6.1 估计状态的推导

6.2 最优增益矩阵的设计

基于 zonotopic 卡尔曼滤波的故障诊断与传感器故障估计

7. 方法总结与优势分析

8. 实际应用与拓展

9. 总结与展望

相关推荐