【计数DP】POJ3718

POJ 3718

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有一些灯泡,给定其现在状态,每次选取3个不同灯泡拉下开关,求有$m$次操作后达到目标状态的方案数

这道题粗略分析是dp,当然可以考虑用组合数学

解法1-组合数学

也就是拉下$3\times m$次灯泡,一个灯泡最多拉$m$次,我们可以先将那些未达到目标状态的灯泡先拉一次,后面每个灯泡拉两次即可

解法2-计数dp

首先$d{p}_{i,j}$表示操作$i$次以后有$j$个亮着的方案数

接下来有$4$种情况

1.在j个亮着的灯泡中有0个灯泡选中 $d{p}_{i+1,j+3}=d{p}_{i,j}\times {\mathtt{C}}_{n-j}^3$
2.在j个亮着的灯泡中有1个灯泡选中 $d{p}_{i+1,j+1}=d{p}_{i,j}\times {\mathtt{C}}_{n-j}^2\times {\mathtt{C}}_j^1$
3.在j个亮着的灯泡中有2个灯泡选中 $d{p}_{i+1,j-1}=d{p}_{i,j}\times {\mathtt{C}}_{n-j}^1\times {\mathtt{C}}_j^2$
4.在j个亮着的灯泡中有3个灯泡选中 $d{p}_{i+1,j-3}=d{p}_{i,j}\times {\mathtt{C}}_j^3$

对于$d{p}_{i,j}$但是会重复$d{p}_{n-2,j}\ast (\frac{n}{3}-j+2)$
最后还要乘上$\frac{1}{j}$,因为可能出现在$j$种情况中

注意

$\frac{1}{j}$与$mod$需要使用乘法逆元,要预处理;而组合数也需要先预处理