codeforces 593E

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本文介绍了一种使用矩阵乘法解决地图上路径数量计算的问题。考虑到地图大小为 n*m (n*m ≤ 20)，文章详细阐述了如何通过矩阵乘法进行状态转移，以高效地处理不同类型的询问，包括添加障碍、移除障碍及查询从起点到指定位置的路径数量。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意

给你一个 $n*m\leq20$ 的地图，然后有三种询问或限制 $q\leq10000$ 。
第一种，在 $(x_i,y_i)$ 位置上从 $t_i$ 时刻有障碍。
第二种，在 $(x_i,y_i)$ 位置上从 $t_i$ 时刻取消障碍。
第三种，询问 $t_i$ 从 $(1,1)$ 到 $(x_i,y_i)$ 的方案数对 $10^9+7$ 取余.

保证 $t_i>t_{i-1}$

解题思路

这道题，很明显可以用矩阵乘法来转移状态，对于每次的询问或限制，我只需将转移矩阵乘上 $t_i-t_{i-1}$ 次，就可以得到时间 $t_i$ 的方案数.

参考代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define maxn 25
#define mo 1000000007
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;

struct mat{
    int a[maxn][maxn];
}now;

bool bz[maxn][maxn];

int n,m,q,last;

const int fx[4][2]={{0,1},{1,0},{0,-1},{-1,0}};

int poi(int x,int y){
    return (x-1)*m+y;
}

mat mul(mat x,mat y){
    mat z;
    mem(z.a,0);
    fo(i,1,n*m)
        fo(j,1,n*m)
            fo(k,1,n*m)
                z.a[i][j]=(z.a[i][j]+x.a[i][k]*1ll*y.a[k][j]) % mo;
    return z;
}

mat pow(mat x,int y){
    mat ret;
    mem(ret.a,0);
    fo(i,1,n*m) ret.a[i][i]=1;
    while (y) {
        if (y % 2 ==1) ret=mul(ret,x);
        x=mul(x,x);
        y /= 2;
    }
    return ret;
}

int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
    last=1;
    fo(i,1,n*m) now.a[i][i]=1;
    fo(i,1,q) {
        int tp,x,y,t;
        scanf("%d%d%d%d",&tp,&x,&y,&t);
        mat tmp;
        mem(tmp.a,0);
        fo(j,1,n)
            fo(k,1,m) {
                fo(p,0,3) {
                    int xx=j+fx[p][0],yy=k+fx[p][1];
                    if (xx<=0 || yy<=0 || xx>n || yy>m) continue;
                    if (bz[j][k] || bz[xx][yy]) tmp.a[poi(j,k)][poi(xx,yy)]=0;
                    else tmp.a[poi(j,k)][poi(xx,yy)]=1;
                }
                if (bz[j][k]) tmp.a[poi(j,k)][poi(j,k)]=0;
                else tmp.a[poi(j,k)][poi(j,k)]=1;
            }
        now=mul(now,pow(tmp,t-last));
        if (tp==2) {
            bz[x][y]=1;
        }
        else if (tp==3) {
            bz[x][y]=0;
        }
        else {
            printf("%d\n",now.a[1][poi(x,y)]);
        }
        last=t;
    }
    return 0;
}