LightOJ 组合游戏 SG函数 SG定理 1199 1296 1315 1229 1401

SG函数与SG定理练手的题目。

1. LightOJ 1199 - Partitioning Game
题意：有n堆石子(1<=n<=100)，每一堆分别有xi个石子(1<=xi<=10000)，
一次操作可以使一堆石子变成两堆数目不相等的石子，
最后不能操作的算输，问先手胜还是后手胜。
思路：n堆石子相互独立，所以可以应用SG定理，只需要算出一堆石子的SG函数。
一堆石子（假设有x个）的后继状态可以枚举出来，分别是{1,x-1},{2,x-2},...,{(x-1)/2,x-(x-1)/2}，
一堆石子分成的两堆石子又相互独立，再次应用SG定理。所以SG(x) = mex{ SG(1)^SG(x-1), SG(2)^SG(x-2),..., SG((x-1)/2)^SG(x-(x-1)/2) }，
最后的答案是SG(x1)^SG(x2)^...^SG(xn)


2. LightOJ 1296 - Again Stone Game
题意：有n堆石子(1<=n<=1000)，每一堆分别有xi个石子(1<=xi<=10^9)，
一次操作可以拿掉任意一堆石子至少一个但不超过一半的石子，
最后不能操作的算输，问先手胜还是后手胜。
思路：n堆石子相互独立，所以可以应用SG定理，只需要算出一堆石子的SG函数。
一堆石子（假设有x个）的后继状态可以枚举出来，分别是{x-1},{x-2},...,{x-x/2}，
把前面若干项打表出来：0 1 0 2 1 3 0 4 2 5 1 6 3 7 0 8 4 9 2 10 5 11 1 12 6 13 3 14 7 15...
可以发现一些规律，SG(x) = x/2 (x为偶数)，SG(x) = SG(x/2) (x为奇数)。
最后的答案是SG(x1)^SG(x2)^...^SG(xn)


3. LightOJ 1315 - Game of Hyper Knights
题意：有n个骑士(1<=n<=1000)在无限的棋盘中，给定n个骑士的坐标(xi,yi)，(0<=xi,yi<500)。
骑士每一步有六种走法，最后不能移动骑士的算输，问先手胜还是后手胜。
思路：n个骑士相互独立，所以可以应用SG定理。
其一，注意到骑士总是往左边走，并且，是在当前对角线的左边，所以在计算每一格的SG函数时可以按照row+col为定值依次计算。
其二，注意到骑士只有六种走法，所以对于每一格的SG函数值SG(x,y)不会超过6。


4. LightOJ 1229 - Treblecross
题意：给一行只包含'X'和'.'的字符串(3<=字符串长度<=200)，两人轮流把某一个'.'变为'X'，
首先获得连续三个'X'的获胜(初始状态没有连续三个'X')。
如果先手必胜，则输出所有第一步可以画的位置，否则输出0。
思路：首先，考虑如果初始状态有'X.X'或者'XX'出现，则可以肯定，先手必胜，并且胜的策略就是直接构成三连。
否则， 先手肯定不会在'X'的周围两格的范围内画'X'（'..X..'变成死区），根据这个性质，可以把初始状态划分为若干个只有'.'的区域。并且这些区域相互独立。
我们用SG(x)表示长度为x的'.'区域的SG函数值。
可以枚举出所有x状态的后继状态，即在x个'.'中选择一个画成'X'，把这段分成了最多两段，可以利用SG定理求出这个后继状态的SG函数值。
所以SG(x) = mex{SG(x-3),SG(x-4),SG(x-5),SG(1)^SG(x-6),SG(2)^SG(x-7)...}。
注意边界SG(0)=0,SG(1)=SG(2)=SG(3)=1。
利用SG定理，可以求出初始状态下的SG函数值ans，即可以得到先手必胜或者必败。
如果必胜，枚举初始状态的所有段的所有位置，假设这段长为n，这个位置把这段分成了x和y两段，
如果ans^SG(n)^SG(x)^SG(y)=0，那么画这个位置就是一种必胜策略。


5. LightOJ 1401 - No Tic-tac-toe
题意：给一行只包含'X','O','.'的字符串(1<=字符串长度<=100)，两人轮流把一个'.'变为'X'或'O'，
两人规定，字符串中不能出现连续的'X'或者'O'，问先手胜还是后手胜
思路：我们可以把这行字符串根据'X'和'O'分割成很多只有'.'的小段，这些小段之间是独立的，
对于一个小段，记它的长度为i，这一段的左边是字符st，右边是字符ed(考虑到这段字符串可能在头部或者尾部，st和ed都有可能是空)，那么我们要计算SG(i,st,ed)，
我们只需要在st~ed之间枚举'X'和'O'，把当前的一段分割成两段，而两段再运用SG定理，就可以计算出SG函数值。
边界是SG(0,random,random)=0。
最后再对所有的小段运用SG定理，即可得到答案。


6. LightOJ 1344 - Aladdin and the Game of Bracelets
题意：给n串项链(1<=n<=50)，每串项链分别有ki个珠子(1<=ki<=50),这些珠子的重量分别是w1,w2,...,wki。
现在有一个游戏，定义一种操作为取任意项链上的任意一个珠子，然后把该项链上所有不轻于取的珠子的珠子取下，这样项链可能被分成若干个小段或者消失。两个人轮流进行操作，问谁最终会赢。如果总是先手赢，那么输出所有先手取第一个珠子的方案。
思路：由于n条项链互相独立，根据SG定理所以只需要分别计算各项链的SG函数值。
对于每一条项链，枚举取的珠子，然后把项链分割成若干段，这若干段又构成相互独立的游戏，运用SG定理可以继续分割成更小的部分。边界条件是当只有一个珠子的时候SG函数值为1。
需要注意的是，我们不需要求出每一段(50*50)的SG函数值，因为其中有很多段是不可能达成的，所以用记忆化搜索能剪掉很多不必要的步骤。
最后要求输出先手必胜的所有方案，我们只需要枚举每一种方案，如果这种方案的结果得到SG函数值为0，那么该方案可行。