2017年安徽省ACM竞赛J题《看似简单的题目》C++题解----奇数项欧拉函数(带模)的和_安徽省赛acm g题括号序列怎么算的,除了代码还有详细解释-优快云博客

本文详细介绍了2017年安徽省ACM竞赛中一道关于奇数项欧拉函数（带模）的和的题目，解题思路涉及欧拉函数的性质和数论知识。通过化简，得出当n为奇数时，f(n)=ϕ(n)%(n+1)，n为偶数时，f(n)=0。提供C++代码实现求解。

2017年安徽省ACM竞赛J题《看似简单的题目》C++题解----奇数项欧拉函数(带模)的和

今晚花了一晚上终于A掉了这道题?，哈哈???，好快乐呀，做难题果然能让人很快乐???当年省赛时没做出来，今晚终于搞定了，必须得总结下~~~ AC代码在文末给出~?

一、解题思路

首先大家在看这道题前得掌握欧拉定理，欧拉函数phi(n)表示n以内的数中与n互质的数的个数。欧拉函数的通式是 $ϕ(n)=n∗∑i=1π(n)(1−1pi)\phi(n)=n*\sum_{i=1}^{\pi(n)}(1-\frac{1}{p_i})$ ，由于 $ϕ(n)\phi(n)$ 是积性函数，当 $x,y互质时，x,y满足ϕ(x∗y)=ϕ(x)∗ϕ(y)x,y互质时，x,y满足\phi(x*y)=\phi(x)*\phi(y)$ ，
又因为n可以通过质因子分解写成 $n=∏pikin=\prod{p_i^{k_i}}$ ，则有 $ϕ(n)=ϕ(∏piki)=∏ϕ(piki)\phi(n)=\phi(\prod{p_i^{k_i}})=\prod{\phi({p_i^{k_i}})}$
又有：
$ϕ(ak)=ak−ak−1=ak−1∗(a−1)\phi(a^k)=a^k-a^{k-1}=a^{k-1}*(a-1)$
下面就可以正式推导题目中的 $f (n)$ 了
题目中的 $f (n)$ 定义：
$f(n)=(∑i=1nϕ(ni))%(n+1)f(n)=(\sum_{i=1}^{n}\phi(n^i))\%(n+1)$
$f(n)=[ϕ(n)+ϕ(n2)+...+ϕ(nn)]%(n+1)f(n)=[\phi(n)+\phi(n^2)+...+\phi(n^n)]\%(n+1)$
$f(n)=[ϕ(∏piki)+ϕ((∏piki)2)+...+ϕ((∏piki)n)]%(n+1)f(n)=[\phi(\prod{p_i^{k_i}})+\phi(({\prod{p_i^{k_i}}})^2)+...+\phi(({\prod{p_i^{k_i}}})^n)]\%(n+1)$