使用AGM迭代公式和高精度数学计算开源库gmp计算圆周率小数点后1000位

前言

最近家里小朋友问有没有方法可以计算圆周率小数点后1000位，因为之前他通过程序实现过莱布尼茨公式，参考之前的博客【通过程序代码实现圆周率的计算】，但是使用的是基本数据类型，最多能计算到十几位就要花费很长时间。于是就咨询了下deepseek，可以通过AGM迭代公式配合高精度数学计算开源库gmp来实现。

一、AGM迭代公式介绍

‌1. 公式定义与原理‌

AGM（算术-几何平均）公式通过交替计算算术平均与几何平均，结合误差校正项实现圆周率的高效计算。其核心为‌高斯-勒让德迭代公式‌：

最终圆周率计算公式为：

‌2. 初始化与迭代步骤‌

• ‌初始参数‌：

起初DeepSeek提供的AGM迭代公式有问题，导致程序运行结果一直不对，经过反复确认DeepSeek才发现了自己的错误，并最终给出了正确的公式，通过程序最终算出了圆周率小数点后1000位，而且计算速度很快。

二、高精度数学计算库gmp介绍

1、核心功能与特性

1. ‌多精度运算支持‌

   • 支持任意精度的 ‌整数、有理数、浮点数‌ 运算，精度仅受硬件限制‌。
   • 提供基础运算（加减乘除、幂、模运算）及高级函数（最大公约数、质数检测、平方根等）‌。

2. ‌性能与效率‌

   • 底层采用 ‌汇编级优化‌ 与高效算法（如快速傅里叶变换乘法），适合大整数密集运算‌。
   • 在密码学场景中，4096位大数运算效率显著优于普通实现‌。

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2、应用场景

领域	典型用途	优势依据
‌密码学‌	RSA/ECC 密钥生成、模幂运算、素数检测	大数运算安全性与速度‌
‌科学计算‌	高精度物理模拟、数值分析	任意精度浮点支持‌
‌金融计算‌	精确利率计算、高频交易算法	避免浮点误差累积‌
‌数论研究‌	质数分布验证、Diophantine方程求解	高效算法库支持‌

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3、多语言支持与扩展

1. ‌原生C接口‌

   • 提供 mpz_t（整数）、mpf_t（浮点数）等数据类型，支持低层内存管理‌。
   • 示例代码：

mpz_t a, b;  
mpz_init_set_str(a, "123456789012345678901234567890", 10);  
mpz_init_set_str(b, "987654321098765432109876543210", 10);  
mpz_add(a, a, b);  // 大整数加法  
gmp_printf("Result: %Zd\n", a);  

4、gmp库下载及在devc++中的集成

请参考博客：在小熊猫C++ DevC++中集成高精度数学计算开源库gmp

三、计算圆周率代码实现

1、申明相关变量参数

mpf_t a, b, t, pi

2、初始化参数

mpf_set_ui(a, 1);
mpf_set(tmpa, a);
mpf_sqrt_ui(b, 2);
	
mpf_div(b, a, b);
mpf_div_ui(t, a, 4);

3、迭代计算参数

// 计算新的a
mpf_add(a, a, b);
mpf_div_ui(a, a, 2);
。。。。。。

4、编译运行程序

感兴趣的朋友可以试着根据公式编写完整的程序计算一下。

附件为小朋友根据公式实现的代码，代码运行结果正确，通过调整参数理论上可以计算小数点后任意位数的圆周率值，当然位数越多，需要你的电脑配置越好，有兴趣的可以参考：

通过使用AGM迭代公式和高精度数学计算开源库gmp计算圆周率小数点后1000位C语言代码