循环矩阵傅里叶对角化

最新推荐文章于 2024-11-13 23:40:34 发布
最新推荐文章于 2024-11-13 23:40:34 发布
阅读量4.2k 收藏 4
点赞数 1
CC 4.0 BY-SA版权
分类专栏： 矩阵
版权声明：本文为博主原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。
本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/jacke121/article/details/62892630
本文详细介绍了循环矩阵的基本概念及其与傅里叶变换之间的密切联系，包括如何使用傅里叶变换对循环矩阵进行对角化，并展示了这种对角化在实际应用中的重要意义。

摘要生成于 C知道 ，由 DeepSeek-R1 满血版支持， 前往体验 >

参考：http://blog.youkuaiyun.com/shenxiaolu1984/article/details/50884830

All circulant matrices are made diagonal by the Discrete Fourier Transform (DFT), regardless of the generating vector x.

任意循环矩阵可以被傅里叶变换矩阵对角化。

diag就是对角化。

文献中，一般用如下方式表达这一概念：

X=C(x)=F⋅diag(x^)⋅FH

其中 X 是循环矩阵， x^ 是原向量 x 的傅里叶变换， F 是傅里叶变换矩阵，上标H表示共轭转置： XH=(X∗)T 。
换句话说， X 相似于对角阵， X 的特征值是 x^ 的元素。

另一方面，如果一个矩阵能够表示成两个傅里叶矩阵加一个对角阵的乘积形式，则它是一个循环矩阵。其生成向量是对角元素的傅里叶逆变换：

F⋅diag(y)⋅FH=C(F−1(y))

这个公式初看疑问很多，以下一一讨论。

X 是什么？

X 是由原向量 x 生成的循环矩阵。以矩阵尺寸 K=4 为例。

X=C(x)=⎡⎣⎢⎢⎢x1x4x3x2x2x1x4x3x3x2x1x4x4x3x2x1⎤⎦⎥⎥⎥

F 是什么？

F 是离散傅里叶矩阵（DFT matrix），可以用一个复数 ω=e−2πi/K 表示，其中 K 为方阵 F 的尺寸。以 K=4 为例。

F=1K−−√⎡⎣⎢⎢⎢⎢11111ωω2ω31ω2ω4ω61ω3ω6ω9⎤⎦⎥⎥⎥⎥

把 ω 想象成一个角度为 2π/K 的向量，这个矩阵的每一行是这个向量在不断旋转。从上到下，旋转速度越来越快。

之所以称为DFT matrix，是因为一个信号的DFT变换可以用此矩阵的乘积获得：

x^=DFT(x)=K−−√⋅F⋅x

反傅里叶变换也可以通过类似手段得到：

x=1K−−√F−1x^

傅里叶矩阵有许多性质：
- 是对称矩阵，观察 ω 的规律即可知；
- 满足 FHF=FFH=I ，也就是说它是个酉矩阵（unitary）。可以通过将 FH 展开成 ωH 验证。

注意： F 是常数，可以提前计算好，和要处理的 x 无关。

对角化怎么理解？

把原公式两边乘以逆矩阵：

F−1⋅X⋅(FH)−1=diag(x^)

利用前述酉矩阵性质：
左边=FHXF=diag(x^)

也就是说，矩阵 X 通过相似变换 F 变成对角阵 diag(x^) ，即对循环矩阵 X 进行对角化。
另外， FHXF 是矩阵 X 的2D DFT变换。即傅里叶变换可以把循环矩阵对角化。

怎么证明？

可以用构造特征值和特征向量的方法证明（参看这篇论文1的3.1节），此处简单描述。
考察待证明等式的第k列：

X⋅fk=x^k⋅fk

其中 fk 表示DFT矩阵的第k列， x^k 表示傅里叶变换的第k个元素。等价于求证： fk 和 x^k 是 X 的一对特征向量和特征值。

左边向量的第i个元素为： lefti=[xi,fk] 。 xi 表示把生成向量 x 向右移动i位， [] 表示内积。
内积只和两个向量的相对位移有关，所以可以把 fk 向左移动i位： lefti=[x,f−ik] 。
DFT矩阵列的移位可以通过数乘 ω 的幂实现： fik=f0⋅ωik 。

举例： K=3 ，

F=1K−−√⎡⎣⎢1111ωω21ω2ω4⎤⎦⎥

利用 ωN=1 .

f1⋅ω=[1,ω,ω2]⋅ω=[ω,ω2,ω3]=[ω,ω2,1]=f−11

f1⋅ω2=[1,ω,ω2]⋅ω2=[ω2,ω3,ω4]=[ω2,1,ω]=f−21

于是有：

lefti=[x,fk⋅ωik]=[x,fk]⋅ωik

右边的 x^=F⋅x ，考虑到 F 的第k行和第k列相同， x^k=[fk,x] 。另外 fk 的第i个元素为 ωik ：

righti=x^k⋅fki=[f∗k,x]⋅ωki

对任意k列的第i个元素有： lefti=righti

更多性质

利用对角化，能推导出循环矩阵的许多性质。

转置

循环矩阵的转置也是一个循环矩阵（可以查看循环矩阵各元素排列证明），其特征值和原特征值共轭。

XT=F⋅diag((x^)∗)⋅FH

可以通过如下方式证明：
XT=(FH)T⋅diag(x^)FT

由于 F 是对称酉矩阵，且已知 X 是实矩阵：
XT=F∗⋅diag(x^)F=(F∗⋅diag(x^)F)∗=F⋅diag((x^)∗)⋅FH

如果原生成向量 x 是对称向量（例如[1,2,3,4,3,2]），则其傅里叶变换为实数，则：

XT=C(F−1(x^)∗)=C(x)

卷积

循环矩阵乘向量等价于生成向量的逆序和该向量卷积，可进一步转化为福利也变化相乘。
注意卷积本身即包含逆序操作，另外利用了信号与系统中经典的“时域卷积，频域相乘”。

F(Xy)=F(C(x)y)=F(x¯∗y)=F∗(x)⊙F(y)

其中 x¯ 表示把 x 的元素倒序排列。星号表示共轭。

相乘

设 C,B 为循环矩阵，其乘积的特征值等于特征值的乘积：

AB=F⋅diag(a^)⋅FH⋅F⋅diag(b^)⋅FH

=F⋅diag(a^)⋅diag(b^)⋅FH=F⋅diag(a^⊙b^)⋅FH

=C(F−1(a^⊙b^))

乘积也是循环矩阵，其生成向量是原生成向量对位相乘的傅里叶逆变换。

相加

和的特征值等于特征值的和：

A+B=F⋅diag(a^)⋅FH+F⋅diag(b^)⋅FH=F⋅diag(a^+b^)⋅FH

=C(F−1(a^+b^))=C(F−1(a^)+F−1(b^))=C(a+b)

和也是循环矩阵，其生成向量是原生成向量的和。

求逆

循环矩阵的逆，等价于将其特征值求逆。

X−1=F⋅diag(x^)−1FH=C(F−1(diag(x^)−1))

对角阵求逆等价于对角元素求逆。以下证明：
F⋅diag(x^)−1⋅FH⋅F⋅diag(x^)⋅FH

=F⋅diag(x^)−1⋅diag(x^)⋅FH=F⋅FH=I

逆也是循环矩阵

有什么用？

该性质可以将循环矩阵的许多运算转换成更简单的运算。例如：

XHX=F⋅diag(x^⊙x^∗)⋅FH=C(F−1(x^⊙x^∗))

原始计算量：两个方阵相乘（ O(K3) ）
转化后的计算量：反向傅里叶( KlogK )+向量点乘（ K ）。

CV的许多算法中，都利用了这些性质提高运算速度，例如2015年TPAMI的这篇高速跟踪KCF方法2。

二维情况

以上探讨的都是原始信号为一维的情况。以下证明二维情况下的 FHXF=diag(x^) ，推导方法和一维类似。

x 是二维生成矩阵，尺寸 N×N 。
X 是一个 N2×N2 的分块循环矩阵，其uv块记为 xuv ，表示 x 下移u行，右移v列。
F 是 N2×N2 的二维DFT矩阵，其第uv块记为 fuv={ωui+vj}ij 。

举例：N=3

f01=⎡⎣⎢111ωωωω2ω2ω2⎤⎦⎥,f11=⎡⎣⎢1ωω2ωω2ω3ω2ω3ω4⎤⎦⎥

需要验证的共有 N×N 个等式，其中第 uv 个为：

[X,fuv]=x^uv⋅fuv

其中 [X,fuv] 表示把 xuv 分别和 fuv 做点乘，结果矩阵元素求和。
这个等式的第ij元素为：
[xij,fuv]=x^uv⋅ωui+vj

再次利用两个性质：1) 点乘只和两个矩阵相对位移有关，2) fuv 的位移可以用乘 ω 幂实现：

leftij=[x,f−i−juv]=[x,fuv]⋅ωui+vj=x^uv⋅ωui+vj=rightij

代码

以下matlab代码验证上述性质。需要注意的是，matlab中的dftmatx函数给出的结果和本文定义略有不同，需做一简单转换。另外，matlab中的撇号表示共轭转置，transpose为转置函数，conj为共轭函数。

clear;clc;close all;

% 1. diagnolize 
K = 5;      % dimension of problem

x_base = rand(1,K);     % generator vector
X = zeros(K,K);         % circulant matrix
for k=1:K
    X(k,:) = circshift(x_base, [0 k-1]);
end

x_hat = fft(x_base);    % DFT

F = transpose(dftmtx(K))/sqrt(K);       % the " ' " in matlab is transpose + conjugation

X2 = F*diag(x_hat)*F';

display(X);
display(real(X2));

% 2. fast compute correlation
C = X'*X;
C2 = (x_hat.*conj(x_hat))*conj(F)/sqrt(K);

display(C);
display(C2);
  
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 10
  • 11
  • 12
  • 13
  • 14
  • 15
  • 16
  • 17
  • 18
  • 19
  • 20
  • 21
  • 22
  • 23
  • 24
  • 25
  • 26

  
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 10
  • 11
  • 12
  • 13
  • 14
  • 15
  • 16
  • 17
  • 18
  • 19
  • 20
  • 21
  • 22
  • 23
  • 24
  • 25
  • 26
  1. Gray, Robert M. Toeplitz and circulant matrices: A review. now publishers inc, 2006.↩
  2. Henriques, João F., et al. “High-speed tracking with kernelized correlation filters.” Pattern Analysis and Machine Intelligence, IEEE Transactions on 37.3 (2015): 583-596.↩
循环矩阵与傅里叶变换
DZYO的博客
07-31 2719
无意之间看到的一个结论，还挺有意思，来搬运一下。 定理 设A=(a0a1⋯an−1an−1a0⋯an−2⋮⋮⋱⋮a1a2⋯a0),f(x)=a0+a1x+⋯+an−1xn−1A= \begin{pmatrix} a_{0} & a_{1} & \cdots & a_{n-1} \\ a_{n-1} &a_0&\cdots &a_{n-2}\\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\ a_{1} &
循环矩阵的傅里叶对角化
ConquerHuang的博客
10-13 2162
文章类容根据《Matrix Analysis and Applied Linear Alebra》第5.8章节内容翻译。
第四讲：循环矩阵对角化及其应用（更新5）.pptx
11-07
在循环矩阵的对角化过程中，我们可以证明，任意循环矩阵可以被分解为一个由傅里叶变换矩阵构成的相似变换，以及一个对角矩阵。这种分解允许我们将复杂的循环矩阵问题简化为对角矩阵的运算问题，极大地提高了运算效率...
线性代数|机器学习-P32循环矩阵的特征向量-傅里叶矩阵
scar2016的博客
08-31 1625
Cc0​Ic1​Pc2​P2⋯cn−1​Pn−1我们有一个循环矩阵C，n行n列，因为矩阵C的特殊性，其斜线上的元素相等，所以可得：C​c0​cn−1​⋮c1​​c1​c0​⋱c2​​c2​c1​⋱c3​​⋯⋯⋱⋯​cn−1​cn−2​⋮c0​​​;​​。
相关滤波、KCF、循环对角化
kobe_huai的博客
06-27 4149
。
r-循环矩阵与矩阵的对角化
10-19
r-循环矩阵与矩阵的对角化 希望对又需要的人有帮助
张量t-product积基础 | 循环矩阵与向量乘积的离散傅立叶变换 · 循环矩阵的傅里叶对角化
slandarer的博客
03-05 2099
循环矩阵与向量乘积的离散傅立叶变换 证明过程非常有意思写下来给大家看一下 证明： FAB=(FA(:,1))⊙(FB) FAB=(FA(:,1))\odot(FB) FAB=(FA(:,1))⊙(FB) 其中AAA为循环矩阵，F为DFT矩阵，A(:,1)A(:,1)A(:,1)是AAA的第一列，⊙\odot⊙是Hadamard积，就是把位置相同的元素乘在一起，这论文中的符号和很多论文中的不一样就很烦，这里因为(FA(:,1))(FA(:,1))(FA(:,1))和(FB)都是列向量，因此为了容易理解我们将其
Toeplitz矩阵&循环矩阵
u013600306的博客
11-12 2078
所有循环矩阵都是Toeplitz矩阵，但不是所有的Toeplitz矩阵都是循环矩阵。这是因为循环矩阵满足更严格的条件——不仅每条对角线上的元素相同，而且每行都是前一行的循环移位。
一窥数字傅里叶变换矩阵
golfbears的博客
10-28 6516
一窥数字傅里叶变换矩阵前言DFT vs IDFT matrics酉矩阵特性矩阵DFT运算矩阵的值长什么样操练总结参考 前言 DFT技术虽然很神奇，但总觉得是个黑洞，摸不着头脑，今天研究一下DFT matrix，能更加清楚的了解一些内核的东西。 DFT vs IDFT matrics 这是一个N*N方阵，矩阵的基本元素由W=e−j2π/NW=e^{-j2\pi/N}W=e−j2π/N来构成，每个位置元素aij=W(i−1)∗(j−1)=e−j2π(i−1)(j−1)/Na_{ij}=W^{(i-1)*(j-1
KCF -目标检测算法总结
weixin_NineDays66
08-03 1万+
KCF简介 KCF是一种鉴别式追踪方法，这类方法一般都是在追踪过程中训练一个目标检测器，使用目标检测器去检测下一帧预测位置是否是目标，然后再使用新检测结果去更新训练集进而更新目标检测器。而在训练目标检测器时一般选取目标区域为正样本，目标的周围区域为负样本，当然越靠近目标的区域为正样本的可能性越大。 简单来说 KCF 是 核相关滤波算法，滤波器 和 跟踪patch 进行相乘的到相关性，对应位置较...
傅里叶变换 ~ 离散傅里叶变换（DFT）
热门推荐
shouwangyunkai666的博客
10-21 5万+
离散傅里叶变换（DFT）–有限长序列的离散频域表示 离散傅里叶变换（DFT）是数字信号处理中非常有用的一种变换，因为它是频域也离散化的一种傅里叶变换。也就是说，时域和频域都离散化了，这样使计算机对信号的时域、频域都能进行计算；另外DFT作为有限长序列的一种傅里叶表示法在理论上相当重要；最后由于DFT有多种快速算法。使得信号处理速度有非常大的提高。 离散傅里叶变换（DFT）是离散傅里叶级数（DFS）...
[傅里叶变换及其应用学习笔记] 二十一. 离散傅里叶变换的矩阵定义，一些性质...
weixin_34336526的博客
01-05 1019
  DFT在零点 $\underline{\mathcal{F}}\underline{f}(0) = \displaystyle{ \sum_{n=0}^{N-1}\underline{f}[n]e^{-2\pi i\frac{n0}{N}} = \sum_{n=0}^{N-1}\underline{f}[n] }$   还记得傅里叶变换在零点处也有类似的式子 $\mathcal{F}...
KCF跟踪算法笔记
kalp_yp
07-15 1万+
原文 kcf是一种Tracking By Detection的跟踪方法，跟ＴＬＤ，OAB同宗,以 跟踪对象为正样本，以周围坏境为负样本，训练一个判别分类器．paper的实验结果显示，kcF（Kernelized Correlation Filter）准确率比Struck和TLD都高(paper中提到With HOG features, both the linear DCF　and non-li
循环矩阵和BCCB矩阵与向量乘积的快速计算——矩阵向量乘积与频域乘积之间的转换
最新发布
u013600306的博客
11-13 1879
循环矩阵是一种特殊的方阵，它的每一行都是前一行向右循环移位一个位置的结果。如果矩阵CCC是n×nn \times nn×n的循环矩阵，那么它可以由第一行的nnn个元素完全确定。假设c0c1cn−1c0​c1​...cn−1​是矩阵CCCCc0cn−1c2c1c1c0cn−1c2⋮c1c0⋱⋮cn−2⋱⋱cn−1cn−1cn−2c1c0C​。
【目标跟踪: 相关滤波器 三】循环矩阵
Kena_M的博客
01-02 7718
循环矩阵充分利用循环矩阵及其特性的是核相关滤波跟踪算法的另一个重要特征，它不仅涉及到目标采样，而且巧妙的将目标特征的频域空间与岭回归相结合，实现了目标特征的快速学习与检测。首先考虑一维样本的情况，设x=[x0,x1,x2,⋯,xN−1]{\bf{x}} = [{x_0},{x_1},{x_2}, \cdots ,{x_{N - 1}}]表示一行图像像素样本，x{\bf{x}}的循环矩阵表示为： X
证明任意循环矩阵可以被傅里叶变换矩阵对角化
05-04
假设 $A$ 是一个 $n\times n$ 的任意循环矩阵，即 $A$ 的每一行都是将前一行向右移动一位，使得最后一列元素移动到第一列。例如，一个 $4\times4$ 的循环矩阵可以写成： $$ A=\begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & a_4 \\ a_4 & a_1 & a_2 & a_3 \\ a_3 & a_4 & a_1 & a_2 \\ a_2 & a_3 & a_4 & a_1 \end{bmatrix} $$ 我们可以证明，任意循环矩阵 $A$ 可以被傅里叶变换矩阵对角化。傅里叶变换矩阵是一个 $n\times n$ 的矩阵，记作 $F_n$，其中第 $i$ 行第 $j$ 列的元素为： $$ F_n(i,j) = \frac{1}{\sqrt{n}}e^{-2\pi i (i-1)(j-1)/n} $$ 现在我们来证明 $A$ 可以被 $F_n$ 对角化。首先，我们可以证明 $F_n$ 有一个很重要的性质：$F_n^*F_n=nI$，即 $F_n$ 的共轭转置和自身的乘积等于 $n$ 倍的单位矩阵。这个性质可以通过计算 $F_n^*F_n$ 得到： $$ \begin{aligned} (F_n^*F_n)_{i,j} &= \sum_{k=1}^n \overline{F_n(k,i)}F_n(k,j) \\ &= \frac{1}{n}\sum_{k=1}^ne^{2\pi i(k-1)(i-j)/n} \\ &= \begin{cases} 1 & i=j \\ 0 & i\neq j \end{cases} \end{aligned} $$ 接下来，我们要证明的是：如果 $A$ 是一个任意循环矩阵，那么就存在一个矩阵 $U$，使得 $U$ 是幺正矩阵（即 $UU^*=U^*U=I$），并且 $U^{-1}AU$ 是对角矩阵。我们可以通过 $F_n$ 来构造这个矩阵 $U$： $$ U = \frac{1}{\sqrt{n}}F_n $$ 首先，我们来证明 $U$ 是幺正矩阵。根据上面的性质，我们有： $$ \begin{aligned} UU^* &= \frac{1}{n}FF^*F_n \\ &= \frac{1}{n}F_n(nI) \\ &= I \end{aligned} $$ 同样地，我们可以证明 $U^*U=I$。因此，$U$ 确实是一个幺正矩阵。 接下来，我们来计算 $U^{-1}AU$。首先，我们有： $$ \begin{aligned} U^{-1} &= \frac{1}{\sqrt{n}}F_n^{-1} \\ &= \frac{1}{\sqrt{n}}F_n^* \end{aligned} $$ 因为 $A$ 是任意循环矩阵，所以可以将其写成一个矩阵 $B$ 的循环移位形式。例如，对于上面的 $4\times4$ 的循环矩阵 $A$，我们可以将其写成： $$ A = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & a_4 \\ a_4 & a_1 & a_2 & a_3 \\ a_3 & a_4 & a_1 & a_2 \\ a_2 & a_3 & a_4 & a_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & a_4 \\ a_1 & a_2 & a_3 & a_4 \\ a_1 & a_2 & a_3 & a_4 \\ a_1 & a_2 & a_3 & a_4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ a_4-a_1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a_4-a_1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_4-a_1 & 0 \end{bmatrix} $$ 其中，第一个矩阵是 $B$，第二个矩阵是 $A-B$。注意到 $B$ 是一个常规矩阵，而 $A-B$ 的每一行都是将前一行向右移动一位。因此，我们可以将 $A-B$ 写成 $C$ 的循环移位形式，其中 $C$ 是一个 $n\times n$ 的矩阵，其第一行为 $a_4-a_1, 0, \cdots, 0$，其余行为 $0$。因此，我们有： $$ C = \begin{bmatrix} a_4-a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_4-a_1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_4-a_1 \end{bmatrix} $$ 于是，我们可以将 $A$ 写成 $B+C$ 的形式。接下来，我们来计算 $U^{-1}AU$： $$ \begin{aligned} U^{-1}AU &= \frac{1}{\sqrt{n}}F_n^*(B+C)F_n \\ &= \frac{1}{n}\sum_{i,j,k} \overline{F_n^*(i,k)}(B+C)_{k,j}F_n(j,i) \\ &= \frac{1}{n}\sum_{i,j,k} \overline{F_n(j,i)}(B+C)_{k,j}F_n(k,i) \end{aligned} $$ 注意到 $B$ 是一个常规矩阵，因此 $BF_n=F_nB$。同时，$C$ 是一个循环矩阵，因此 $CF_n=F_nC$。因此，我们有： $$ \begin{aligned} U^{-1}AU &= \frac{1}{n}\sum_{i,j,k} \overline{F_n(j,i)}BF_n(k,i) + \frac{1}{n}\sum_{i,j,k} \overline{F_n(j,i)}CF_n(k,i) \\ &= B + \frac{1}{n}\sum_{i,j,k} \overline{F_n(j,i)}CF_n(k,i) \end{aligned} $$ 因为 $C$ 是对角矩阵，所以 $CF_n$ 的每一列都是将前一列向右移动一位，使得最后一列元素移动到第一列。因此，$CF_n$ 可以写成： $$ CF_n = \begin{bmatrix} c_1 & c_n & \cdots & c_2 \\ c_2 & c_1 & \cdots & c_3 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_n & c_{n-1} & \cdots & c_1 \end{bmatrix} $$ 其中 $c_i$ 表示 $C$ 的第 $i$ 个对角元素。因此，我们有： $$ \begin{aligned} \frac{1}{n}\sum_{i,j,k} \overline{F_n(j,i)}CF_n(k,i) &= \frac{1}{n}\sum_{i,j,k} \overline{F_n(j,i)}c_kF_n(k,i) \\ &= \begin{bmatrix} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n c_k & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n c_ke^{2\pi i(j-1)(k-1)/n} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n c_ke^{2\pi i(j-1)(k-1)/n} \end{bmatrix} \end{aligned} $$ 因此，我们有： $$ U^{-1}AU = B + \begin{bmatrix} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n c_k & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n c_ke^{2\pi i(j-1)(k-1)/n} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n c_ke^{2\pi i(j-1)(k-1)/n} \end{bmatrix} $$ 因此，$U^{-1}AU$ 是一个对角矩阵。因此，我们证明了任意循环矩阵可以被傅里叶变换矩阵对角化。
评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

个

红包个数最小为10个

元

红包金额最低5元

当前余额3.43元 前往充值 >
需支付：10.00元
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包

打赏作者

AI算法网奇

你的鼓励将是我创作的最大动力

¥1 ¥2 ¥4 ¥6 ¥10 ¥20
扫码支付：¥1
获取中
扫码支付

您的余额不足，请更换扫码支付或充值

打赏作者

实付元
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明：

1.余额是钱包充值的虚拟货币，按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载，可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值