二叉堆

二叉堆是一种支持插入、删除、查询最值的数据结构。它其实是一棵满足“堆性质”的完全二叉树，树上的每个节点带有一个权值。

若树中任一节点的权值都小于等于其父节点的权值，则称该二叉树为“大根堆”。

若树中任一节点的权值都大于等于其父节点的权值，则称该二叉树为“小根堆”。

根据完全二叉树的性质，我们可以采用层次序列存储方式，直接用一个数组来保存二叉堆。

下面以大根堆为例：

插入

int heap[SIZE],n;
void up(int p)
{
    while(p>1)
    {
        if(heap[p]>heap[p/2])
        {
            swap(heap[p],heap[p/2]);
            p/=2;
        }
        else break;
    }
}
void Insert(int val)
{
    heap[++n]=val;
    up[n];
}

堆顶权值

int GetTop()
{
    return heap[1];
}

移除堆顶

void down(int p)
{
    int s=p*2; //p的左子节点
    while(s<=n)
    {
        if(s<n&&heap[s]<heap[s+1]) s++;//左右子节点取较大
        if(heap[s]>heap[p])
           {
                swap(heap[s],heap[p]);
                p=s,s=p*2;
           }
        else break;
    }
}
void Extract()
{
    heap[1]=heap[n--];
    down(1);    
}

移除下标为k的节点

Remove(k)与Extract相类似，我们先把heap[k]和heap[n]交换，随后n-1。注意此时heap[p]可能向上或向下调，需要分别进行检查和处理。

void Remove(int k)
{
    heap[k]=heap[n--];
    up(k),down(k);
}

C++ STL中的priority_queue（优先队列）实现了一个大根堆，支持push（Insert），top（GetTop），pop（Extract）操作，不支持Remove操作。

用priority<int,vector<int>,greater<int> >可以构建一个小根堆。