矩阵学习笔记

矩阵的学习目的。。。空间坐标转换

矩阵 ：  就是以行和列的形式组织起来的矩阵数字块

            通常矩阵的描述是 n行m列 即 m12 表示的是m的第一行第二列的元素

特殊的矩阵：  1、方阵 ： 行数和列数相同的矩阵就是方阵（一般也就到2×2,3×3,4×4的方阵）

                          2、对角线元素： 只存在于方阵中，方阵中的行号和列号相同的元素就是对角线元素

                          3、非对角线元素： 方阵中除了对焦线元素，其他都是非对角线元素

                          4、对角矩阵： 非对角线元素都是0的方阵，对角元素可以是任意的

                          5、数量矩阵： 对角线元素都相等的对角矩阵

                          6、单位矩阵： 对角线元素都为1的对角矩阵

矩阵的行列式、代数余子式，标准伴随矩阵，逆矩阵。就不写怎么算了。。

                注意点： 代数余子式  例如 Cij = -1的i + j 幂次方  ×　（去掉第i行，和第j列组成的矩阵行列式）

                                逆矩阵：表示矩阵M的一个变换，M的逆矩阵表示的就是相反的变换    可记作 M的-1次

                                                 小知识点： M矩阵的行列式为 0 的话，该矩阵是不可逆的 

                                                                      矩阵的逆 = M的标准伴随矩阵 / M的行列式

矩阵的几何意义： 对于给定的向量a ， 矩阵M ， a * M = b ，那么我们可以说a 经过M的转换结果得到了b向量

                                  M 描述的是一次变换

   一般使用方阵的特性来描述一个物体变化的规律： 例如、旋转、缩放、投影、镜像、平移

 

矩阵与矩阵相乘 ： 注意 满足条件，乘号左边的矩阵的列 要和 乘号右边的矩阵的行 保持一致才能进行相乘

        一般三维空间的点 的坐标 表示 （x，y，z） 我的理解，，看成一个一行三列的矩阵 

                                                                                                       在乘以 一个三行三列的方阵。（方阵代表的某种变化）

                                                                                                             就会的到一个经过变化的新的 坐标

 矩阵与标量相乘： 就是让这个标量与矩阵中的每一个元素相乘，得到新的矩阵

三维空间下的旋转矩阵

绕X轴旋转的矩阵             绕Y轴旋转的矩阵                绕Z轴旋转的矩阵

1    0     0                           Cosθ   0   -Sinθ                   Cosθ   Sinθ   0

0  Cosθ   Sinθ                   0      1     0                           -SInθ   Cosθ  0

0  -Sinθ   Cosθ                  Sinθ    0   Cosθ                   0        0    1

 

三维的缩放矩阵

Kx  0    0

0   ky   0

0   0    kz

 

三维投影矩阵

向XY面投影的矩阵： 是坐标的Z变成0         向XZ面投影的矩阵： 是坐标的Y变为0     向YZ面投影的矩阵：  是坐标的X变为0

1   0   0                                                                1   0   0                                                            0   0   0

0   1   0                                                                0   0   0                                                            0   1   0

0   0   0                                                                0   0   1                                                            0   0   1

 

镜像矩阵

绕XY平面镜像, Z值变成相反的。           绕XZ平面镜像, Y值变成相反的。           绕YZ平面镜像, X值变成相反的。

1   0   0                                                         1     0      0                                                  -1  0  0

0   1   -1                                                        0    -1    0                                                     0  1   0

0   0   -1                                                        0     0     1                                                    0  0   1

 

平移矩阵

1   0   0   0

0   1   0   0

0   0   1   0

X1  Y1  Z1  1

X1 Y1 Z1 表示的是分别在X轴Y轴Z轴方向上的平移。

 

齐次坐标

有几何意义的三维向量。

齐次坐标有四个维度，但是表示的是三维空间下的几何意义。

(X,Y,Z) => (X,Y,Z,W)

W =0 => (X,Y,Z)表示的是方向

W = 1=> (X,Y,Z)表示的是意义

 

4X4矩阵表示三维坐标的线性变换

例如： 绕X轴旋转的矩阵

1      0          0           0

0     Cosθ   Sinθ      0

0    -Sinθ    Cosθ     0

0     0           0           1