2025NOIP普及组.rar
NOIp2002普及组解题报告
题一： 级数求和
[问题描述]：
已知：Sn=1+1/2+1/3+…+1/n。显然对于任意一个整数K，当n足够大的时候，Sn大于K。现给出一个整数K（1<=K<=15），要求计算出一个最小的n，使得Sn>K
[问题分析]：
这道题目非常简单，题目的意思已经把该题的算法描述得再清楚不过了，初始时Sn=0,n=0,然后每次循环nn+1,SnSn+1/n,，直到Sn大于K，最后输出K。另外实型(Real是最慢的，建议用Extended)的运算速度不是很快，而K为1~15之间的整数，所以最后可以交一张表（常量数组），以达到最好的效果
[参考程序]：
题二： 选数
[问题描述]：
已知n（1<=n<=20）个整数x1,x2,…,xn（1<=xi<=5000000），以及一个整数k（k<n）。从n个整数中任选k个整数相加，可分别得到一系列的和。现在，要求你计算出和为素数共有多少种。
[问题分析]：
本题动态规划无从下手，也无数学公式可寻，看来只能搜索（组合的生成算法），其实1<=n<=20这个约束条件也暗示我们本题搜索是有希望的，组合的生成可用简单的DFS来实现，既搜索这k个整数在原数列中的位置，由于组合不同于排列，与这k个数的排列顺序无关，所以我们可以令a[I]<a[I+1]（a[I]表示第I个数在原数列中的位置），这个组合生成算法的复杂度大约为C(n,k)，下面给出递归搜索算法的框架：
Proc Search(dep)
Begin
for i <- a[dep - 1] + 1 to N - (M - dep) do
1：a[dep] <- i
2：S <- S + x[i]
3：if dep < k then Search(dep + 1) else 判断素数
4：S <- S - x[i]
End
接下来的问题就是判断素数，判断一个整数P(P>1)是否为素数最简单的方法就是看是否存在一个素数a(a<=sqrt(P))是P的约数，如果不存在，该数就为素数，由于在此题中1<=xi<=5000000,n<=20,所以要判断的数P不会超过100000000，sqrt(p)<=10000，因此，为了加快速度，我们可以用筛选法将2…10000之间的素数保存到一个数组里（共1229个），这样速度估计将提高5~6倍。
特别注意：本题是要求使和为素数的情况有多少种，并不是求有多少种素数，比赛时就有很多同学胡乱判重而丢了12分；还有1不是素数，在判素数时要对1做特殊处理。
[参考程序]
题三： 产生数
[问题描述]：
给出一个整数n(n<10^30)和k个变换规则（k<=15）。
规则：
1个数字可以变换成另一个数字
规则的右部不能为零。
问题：
给出一个整数n和k个规则
求出：
经过任意次的变换（0次或多次），能产生出多少个不同的整数。
[问题分析]：
认真分析题目之后发现，本题搜索显然是不行的，而且对于只需计数而不需求具体方案的题目，一般都不会用搜索解决，其实本题不难看出，可以用乘法原理直接进行计数，用Fi表示数字i包括本身可以变成的数字总个数（这里的变成可以是直接变成也可以是间接变成，比如3->5,5->7,那么3->7），那么对于一个数a（用数组存,长度为n），根据乘法原理它能产生出F[a[1]]*F[a[2]]*F[a[3]]*…F[a[n]]个不同整数，相信这一点大家不难理解。那么现在的关键就是如何求Fi，由于这些变换规则都是反应的数字与数字之间的关系，这很容易让我们想到用图来表示这种关系：
1： 建立一个有向图G，初始化g[i, j] False
2： 如果数字i能直接变成数字j，那么g[i, j] True
容易知如果数字i能变成数字j，那么i到j必须存在路径，否则i是不可能变成j的，这样一来，Fi的求解就显得非常简单了，求一个顶点v包括本身能到达的顶点数的方法相当多，可以用BFS,DFS,Dijkstra,Floyd，这里介绍一种类似Floyd的有向图的传递闭包算法，该算法实现简单 ，在解决这类问题时比Floyd效率更高，所谓有向图的传递闭包就是指可达性矩阵A=[a[i, j]],其中
a[i, j] = True 从i到j存在通路
a[i, j] = False 从i到j不存在通路
所以有向图传递闭包算法只需将floyd算法中的算术运算符操作‘+’用相应的逻辑运算符‘and’和’or’代替就可以了，其算法如下：
for k 1 to n do
for i 1 to n do
for j 1 to n do
a[i, j] = a[i, j] or (a[i, k] and a[k, j])
最后值得注意的是当n很大时输出可能会超过Comp类型的范围，所以要使用高精度乘法，由于高精度算法是信息学竞赛中的基础，这里就不在详述。
[参考程序]
题四： 过河卒
[问题描述]：
棋盘上A点有一个过河卒，需要走到目标B点。卒行走的规则：可以向下、或者向右。
同时在棋盘上C点有一个对方的马，该马所在的点和所有跳跃一步可达的点称为对方马的控制点。
棋盘用坐标表示，A点(0,0)、B点(n, m) (n,m为不超过20的整数),同样马的位置坐标是需要给出的。现在要求你计算出卒从A点能够到达B点的路径的条数
[问题分析]：
这是一道老得不能再老的题目了，很多书上都有类似的题目，NOIp97普及组的最后一题就和本题几乎一模一样。有些同学由于没见过与之类似的题目，在比赛时用了搜索，当n到14，15左右就会超时，其实，本题稍加分析，就能发现：要到达棋盘上的一个点，只能从左边过来或是从上面下来，所以根据加法原理，到达某一点的路径数目，等于到达其相邻上，左两点的路径数目之和，因此我们可以使用逐列（或逐行）递推的方法来求出从起始顶点到重点的路径数目，即使有障碍（我们将马的控制点称为障碍），这一方法也完全适用，只要将到达该点的路径数目置为0即可，用F[i,j]表示到达点(i,j)的路径数目，g[i,j]表示点(i, j)有无障碍，递推方程如下：
F[0,0] = 1
F[i,j] = 0 { g[x,y] = 1 }
F[i,0] = F[i-1,0] {i > 0, g[x,y] = 0}
F[0,j] = F[0,j-1] {j > 0, g[x,y] = 0}
F[i,j] = F[i-1,j] + F[i,j-1] {i > 0, j > 0, g[x, y] = 0}
本题与第三题一样，也要考虑精度问题，当n,m都很大时，可能会超过MaxLongInt,所以要使用Comp类型计数(Comp类型已经足够了，即使n=20,m=20，没有任何障碍的情况下的结果也只有14，5位的样子)。
[参考程序]
总结:
四道题目其实都很容易,要想到正确可行的方法并不难,考察的是大家的编程基础,一些基本算法的简单应用,并不需要什么优化技巧,关键是看大家对这些基本算法是否已熟练掌握,只有熟练掌握这些算法,在考试中才能在较短的时间内做好每道题,我们一定要重视基础!
深度学习工具包 DeepLearningToolbox
深度学习工具包Deprecation notice.-----This toolbox is outdated and no longer maintained.There are much better tools available for deep learning than this toolbox, e.g. [Theano](http://deeplearning.net/software/theano/), [torch](http://torch.ch/) or [tensorflow](http://www.tensorflow.org/)I would suggest you use one of the tools mentioned above rather than use this toolbox.Best, Rasmus.DeepLearnToolbox================A Matlab toolbox for Deep Learning.Deep Learning is a new subfield of machine learning that focuses on learning deep hierarchical models of data.It is inspired by the human brain's apparent deep (layered, hierarchical) architecture.A good overview of the theory of Deep Learning theory is[Learning Deep Architectures for AI](http://www.iro.umontreal.ca/~bengioy/papers/ftml_book.pdf)For a more informal introduction, see the following videos by Geoffrey Hinton and Andrew Ng.* [The Next Generation of Neural Networks](http://www.youtube.com/watch?v=AyzOUbkUf3M) (Hinton, 2007)* [Recent Developments in Deep Learning](http://www.youtube.com/watch?v=VdIURAu1-aU) (Hinton, 2010)* [Unsupervised Feature Learning and Deep Learning](http://www.youtube.com/watch?v=ZmNOAtZIgIk) (Ng, 2011)If you use this toolbox in your research please cite [Prediction as a candidate for learning deep hierarchical models of data](http://www2.imm.dtu.dk/pubdb/views/publication_details.php?id=6284)```@MASTERSTHESIS\{IMM2012-06284, author = "R. B. Palm", title = "Prediction as a candidate for learning deep hierarchical models of data", year = "2012",}```Contact: rasmusbergpalm at gmail dot comDirectories included in the toolbox-----------------------------------`NN/` - A library for Feedforward Backpropagation Neural Networks`CNN/` - A library for Convolutional Neural Networks`DBN/` - A library for Deep Belief Networks`SAE/` - A library for Stacked Auto-Encoders`CAE/` - A library for Convolutional Auto-Encoders`util/` - Utility functions used by the libraries`data/` - Data used by the examples`tests/` - unit tests to verify toolbox is workingFor references on each library check REFS.mdSetup-----1. Download.2. addpath(genpath('DeepLearnToolbox'));Example: Deep Belief Network---------------------```matlabfunction test_example_DBNload mnist_uint8;train_x = double(train_x) / 255;test_x = double(test_x) / 255;train_y = double(train_y);test_y = double(test_y);%% ex1 train a 100 hidden unit RBM and visualize its weightsrand('state',0)dbn.sizes = [100];opts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;opts.momentum = 0;opts.alpha = 1;dbn = dbnsetup(dbn, train_x, opts);dbn = dbntrain(dbn, train_x, opts);figure; visualize(dbn.rbm{1}.W'); % Visualize the RBM weights%% ex2 train a 100-100 hidden unit DBN and use its weights to initialize a NNrand('state',0)%train dbndbn.sizes = [100 100];opts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;opts.momentum = 0;opts.alpha = 1;dbn = dbnsetup(dbn, train_x, opts);dbn = dbntrain(dbn, train_x, opts);%unfold dbn to nnnn = dbnunfoldtonn(dbn, 10);nn.activation_function = 'sigm';%train nnopts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;nn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.10, 'Too big error');```Example: Stacked Auto-Encoders---------------------```matlabfunction test_example_SAEload mnist_uint8;train_x = double(train_x)/255;test_x = double(test_x)/255;train_y = double(train_y);test_y = double(test_y);%% ex1 train a 100 hidden unit SDAE and use it to initialize a FFNN% Setup and train a stacked denoising autoencoder (SDAE)rand('state',0)sae = saesetup([784 100]);sae.ae{1}.activation_function = 'sigm';sae.ae{1}.learningRate = 1;sae.ae{1}.inputZeroMaskedFraction = 0.5;opts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;sae = saetrain(sae, train_x, opts);visualize(sae.ae{1}.W{1}(:,2:end)')% Use the SDAE to initialize a FFNNnn = nnsetup([784 100 10]);nn.activation_function = 'sigm';nn.learningRate = 1;nn.W{1} = sae.ae{1}.W{1};% Train the FFNNopts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;nn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.16, 'Too big error');```Example: Convolutional Neural Nets---------------------```matlabfunction test_example_CNNload mnist_uint8;train_x = double(reshape(train_x',28,28,60000))/255;test_x = double(reshape(test_x',28,28,10000))/255;train_y = double(train_y');test_y = double(test_y');%% ex1 Train a 6c-2s-12c-2s Convolutional neural network %will run 1 epoch in about 200 second and get around 11% error. %With 100 epochs you'll get around 1.2% errorrand('state',0)cnn.layers = { struct('type', 'i') %input layer struct('type', 'c', 'outputmaps', 6, 'kernelsize', 5) %convolution layer struct('type', 's', 'scale', 2) %sub sampling layer struct('type', 'c', 'outputmaps', 12, 'kernelsize', 5) %convolution layer struct('type', 's', 'scale', 2) %subsampling layer};cnn = cnnsetup(cnn, train_x, train_y);opts.alpha = 1;opts.batchsize = 50;opts.numepochs = 1;cnn = cnntrain(cnn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = cnntest(cnn, test_x, test_y);%plot mean squared errorfigure; plot(cnn.rL);assert(er<0.12, 'Too big error');```Example: Neural Networks---------------------```matlabfunction test_example_NNload mnist_uint8;train_x = double(train_x) / 255;test_x = double(test_x) / 255;train_y = double(train_y);test_y = double(test_y);% normalize[train_x, mu, sigma] = zscore(train_x);test_x = normalize(test_x, mu, sigma);%% ex1 vanilla neural netrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);opts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samples[nn, L] = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.08, 'Too big error');%% ex2 neural net with L2 weight decayrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.weightPenaltyL2 = 1e-4; % L2 weight decayopts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex3 neural net with dropoutrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.dropoutFraction = 0.5; % Dropout fraction opts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex4 neural net with sigmoid activation functionrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.activation_function = 'sigm'; % Sigmoid activation functionnn.learningRate = 1; % Sigm require a lower learning rateopts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex5 plotting functionalityrand('state',0)nn = nnsetup([784 20 10]);opts.numepochs = 5; % Number of full sweeps through datann.output = 'softmax'; % use softmax outputopts.batchsize = 1000; % Take a mean gradient step over this many samplesopts.plot = 1; % enable plottingnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex6 neural net with sigmoid activation and plotting of validation and training error% split training data into training and validation datavx = train_x(1:10000,:);tx = train_x(10001:end,:);vy = train_y(1:10000,:);ty = train_y(10001:end,:);rand('state',0)nn = nnsetup([784 20 10]); nn.output = 'softmax'; % use softmax outputopts.numepochs = 5; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 1000; % Take a mean gradient step over this many samplesopts.plot = 1; % enable plottingnn = nntrain(nn, tx, ty, opts, vx, vy); % nntrain takes validation set as last two arguments (optionally)[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');```[](https://bitdeli.com/free "Bitdeli Badge")
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