12、法里序列与平面欧几里得中轴测试掩码

法里序列与平面欧几里得中轴测试掩码

在几何与离散数学领域，中轴（Medial Axis）是一个重要的概念，它在形状分析、计算机图形学等方面有着广泛的应用。本文将深入探讨法里序列（Farey Sequences）与平面欧几里得中轴测试掩码的相关内容。

1. 球与中轴的基本概念

• 球的定义 ：设 (d) 是 (Z^n) 上的距离，中心为 (p \in Z^n) 、半径为 (r \in R) 的球定义为 (B(p, r) = { q \in Z^n : d(p, q) \leq r })。为简化表示，用 (B_r) 表示 (B(O, r)) 。由于考虑的是离散闭球，任何球 (B) 在左闭区间 ([r_1, r_2[) 内有无限个实半径，其中 (r_1, r_2 \in Im(d)) 。我们将给定球 (B) 的可表示半径定义为属于 (Im(d)) 的半径。
• 内球与外包球 ：对于形状 (S) 和点 (p \in Z^n) ，定义 (I_p(S)) 为以 (p) 为中心且包含在 (S) 内的最大球（若 (p \notin S) ，则 (I_p(S) = \varnothing) ）；定义 (H_p(S)) 为以 (p) 为中心且包含 (S) 的最小球。同时，定义 (R_p(B)) 为 (H_p(B)) 的可表示半径。
• 内半径与中轴 ：形状 (S) 的内半径 (rad(S)) 是包含在 (S) 内的最大球的可表示半径。我们用 (C_{S^n}(r)) 表示所有内半径小于或等于 (r) 的 (n) 维形状的类。如果一个包含在形状 (S) 内的球