9、基于分层离散中轴的球树构建方法

基于分层离散中轴的球树构建方法

在计算机图形学和离散几何领域，球树（Sphere-Tree）是一种重要的数据结构，在碰撞检测、图像合成等方面有广泛应用。本文将介绍一种基于分层离散中轴（Hierarchical Discrete Medial Axis）的球树构建方法。

1. 背景与动机

在交互式环境中，分层表示是许多应用的经典工具，如在图像合成、多分辨率表示和干扰检测中，它能实现快速交互定位。边界体积层次结构（Bounding Volume Hierarchies，BVH）是一种常用的分层表示方法，它通过在不同层次上用简单体积（如球体、轴对齐边界框、定向边界框等）覆盖对象，确保子节点覆盖的对象部分被父节点覆盖。碰撞检测通过递归过程进行，测试原始体积对之间的重叠。

在计算几何中，早期的球树构建算法基于八叉树数据结构，后来基于对象中轴（Medial Axis，MA）的高效算法被提出。在离散几何中，数字对象的多分辨率表示研究曾使用同伦细化方法，但这更像是中轴过滤，而非球集的分层减少。我们的目标是开发一种对构建可逆性具有灵活性的分层结构，离散中轴（Discrete Medial Axis，DMA）是数字空间中表示对象的便捷工具，因为它具有可逆性，可从DMA球精确重建原始形状。

2. 预备知识

2.1 金字塔模型

在图像分析中，金字塔结构是一种方便的工具。在二维中，深度为N + 1的金字塔P可由一组二维图像{F0, …, FN}定义。规则金字塔的构建是自下而上的过程，FN是原始图像，上层是其以四叉树方法表示的低分辨率图像，每一层的像素大小是下一层的4倍。像素颜色基于4个像素，通过传递函数计算。

我们可以