19、误差函数：概念、分类与应用探究

误差函数：概念、分类与应用探究

1. 误差函数的基本概念

函数本质上是一种从一个集合到另一个集合的映射，它描绘了两个集合之间的关系。为了定量地捕捉误差，就需要明确对象系统中的每个元素与特定误差值之间的关系，也就是要确定对象系统与实数域 ℜ 之间的联系。当对象系统可以用一个对象集来表示时，对象集与实数集 ℜ 之间的某种确定性关系就是我们所说的“误差函数”。

1.1 误差函数的定义

假设 U 是一个对象集，G 是一组误差判断规则，V = { (u, G) | u ∈U }，f : V →ℜ，那么 f 就被称为在 U 上定义的、基于误差判断规则 G 的误差函数，记为 x = f (G, u) ，即 f (u) ，其中 ℜ 表示实数的论域，x 是对象 u 在判断规则 G 下的误差值。从这个定义可以看出，f 是从 V 到实数域 ℜ 的映射，函数 f 有两个独立变量：对象集 U 中的元素和误差判断规则 G，它们共同对应一个实数，即对象 u 在规则 G 下的误差值。并且存在两种动态情况，u 在 U 内变化，G 会因 U 上的不同因素而改变。

1.2 误差函数的分类

根据具体要求的差异，误差函数可以基于其特征进行分类。这里主要从误差函数的值域和部分定义域两个方面进行分类。
- 按值域 ran( f ) 分类 ：
- 若 ran( f ) = {0, 1}，则 f 是定义在 U 上的经典误差函数，显然它是不连续的。
- 若 ran( f ) = [0, 1]，则 f 是定义在 U 上的模糊误差函数。
- 若 ran( f ) = (−∞, +∞)，则 f 是定义在 U 上的