9、自适应选择重要快照的方法

自适应选择重要快照的方法

在工程和科学计算领域，对于复杂系统的模拟往往需要处理高维度的方程系统，这不仅计算成本高，而且可能导致计算效率低下。 Proper Orthogonal Decomposition (POD) 方法是一种有效的降维技术，它可以将高维度的方程系统投影到低维度的子空间，从而降低计算成本。然而，传统的 POD 方法在处理非线性问题时存在一定的局限性，因为它的投影矩阵在整个模拟过程中是固定的，无法适应系统行为的变化。为了解决这个问题，研究人员提出了一种自适应的 POD 方法，即 Adaptive Proper Orthogonal Decomposition (APOD)。

1. POD 方法基础

POD 方法基于预计算，将不同时间步的解向量（即快照）存储在快照矩阵 (D) 中。假设 (D \in R^{n×l})，其中 (n) 是自由度的数量，(l) 是收集的快照数量。在单次预计算中，收集的快照数量 (l) 等于预计算的时间步数 (j)。每个时间步的解向量 (u) 是一个 (n×1) 的位移向量。

POD 的目标是使用快照矩阵 (D) 找到一个正交基，使得 (D) 在该基所定义的子空间上的投影距离最小。这可以通过对 (D) 进行奇异值分解来实现：
[D = S\Sigma V^T = \sum_{k = 1}^{l} \sigma_k s_k v_k^T]
其中，(\Sigma) 的上块是一个对角矩阵，包含按降序排列的奇异值，下块是零矩阵：
[\Sigma =
\begin{pmatrix}
\sigma_1 \
\vdots \
\sigma_n \
0
\end{pma