8、基于DMD方法的降阶建模综述与自适应POD快照选择方法

基于DMD方法的降阶建模综述与自适应POD快照选择方法

基于DMD方法的降阶建模

在许多科学和工程领域，处理复杂系统的数值模拟和数据分析时，降阶建模（Reduced Order Modeling, ROM）是一种重要的技术，它可以在保证一定精度的前提下，显著降低计算成本。其中，基于动态模态分解（Dynamic Mode Decomposition, DMD）的方法近年来受到了广泛关注。

方法参数与误差处理

基于DMD的方法依赖于三个可调参数：索引 $d$、用于步骤1中截断奇异值分解（SVD）展开的容差 $\varepsilon_1$ 以及用于步骤2中忽略振幅过小模式的容差 $\varepsilon_2$。这些参数需要通过一定的校准来选择，目的是最小化使用展开式（1）重建原始数据的相对误差。

误差在数值数据（截断误差和舍入误差）和实验数据（环境噪声和其他实验伪像）中是不可避免的。适当选择与误差大小相当的容差 $\varepsilon_1$ 和 $\varepsilon_2$ 有助于过滤误差。更有效的误差过滤方法是迭代应用步骤1和步骤2。

应用一：数值模拟加速

在非定常数值模拟计算吸引子时，初始阶段通常会出现瞬态动力学，此时会同时发展出大量频率（包括物理频率和虚假频率）。与这些频率相关的模式的发展和演变直接取决于求解数值方程时使用的空间和时间离散化方法。例如，低阶格式（如二阶有限体积法）比高阶格式（如高谱方法）更具耗散性，因此引入的频率数量更少，因为小振幅频率会被耗散掉。

这里使用高阶动态模态分解（Higher Order Dynamic Mode Decomposition, HODMD）作为R