3、静态凝聚：最优端口/接口缩减与误差估计

静态凝聚：最优端口/接口缩减与误差估计

在工程和科学计算中，高效地处理复杂系统的数值模拟是一个关键问题。本文将介绍静态凝聚方法中的最优端口/接口缩减技术以及相关的误差估计，同时通过数值实验展示其在不同几何形状下的性能。

1. 元素内缩减空间与接口空间

在某些情况下，需要生成新的元素内缩减空间。元素内缩减空间的构建成本可能会因参数 - 解映射的平滑性而有所不同，有时甚至比接口空间的生成成本更高。然而，如果在几何形状改变后重复使用接口空间，那么构建所有缩减空间的在线计算总时间将会减少。特别是在不需要元素内缩减空间的情况下，从计算角度来看，重复使用缩减后的接口空间是很有吸引力的。

2. 谱贪心算法

谱贪心算法旨在构建一个准最优的、与参数无关的端口空间 $R_m$，该空间能够在有限维训练集 $\Xi = P_{Geo} \times \Xi_{PDE}$ 上以给定的精度逼近那些与参数相关的端口空间 $R_{n_{data,ker}(\mu)}$。其具体步骤如下：

Algorithm 4.1: spectral greedy 
input : train sample Ξ ⊂P, tolerance ε
output: set of chosen parameters Pm, port space Rm
1 Initialize
    Pdim(ker(A )) ←∅, Rdim(ker(A )) ←span{η1|Γin, . . . , ηdim(ker(A ))|Γin}, m ←dim(ker(A ))
2 foreach μ ∈Ξ do
3
    Compute R