Gym 101002D Programming Team（01分数规划+树形背包）_洛谷树形背包+01分数规划-优快云博客

本文探讨了一种结合树形背包与01分数规划的算法，用于求解特定树结构中节点选择问题，以实现权值比的最大化。通过递归上下界优化和先序遍历优化两种方式，详细阐述了算法的实现过程，并提供了完整的代码示例。

题目链接

题意

一个大小为 $n$ 的树，每点权值 $< s i, p i >$ ，恰好K个点，要求 $\frac{\sum{p}}{\sum{s}}$ 最大。
还要满足 $f [u]$ 选了才能选 $u$

思路

01分数规划，二分枚举答案， $\frac{\sum{p}}{\sum{s}} >= ans$ $等价$ $\sum{p}-ans*\sum{s} >= 0$
然后用树形背包解决，范围较大需要优化。

代码

递归上下界优化

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int m, n;
int first[2505], tot, sz[2505];
double dp[2505][2505], a[2505];
struct Node {
    int a, b, nxt, v;
}e[2505];

void add(int u, int v, int a, int b)
{
    e[tot].a = a;
    e[tot].b = b;
    e[tot].v = v;
    e[tot].nxt = first[u];
    first[u] = tot++;
}

void dfs(int u, double x) {
    sz[u]=1;
    for (int i = first[u]; ~i; i = e[i].nxt) {
        int v = e[i].v;
        dp[v][1] = e[i].b-x*e[i].a;
        dfs(v, x);
        for(int j = min(m+1, sz[u]+sz[v]); j >= 1; --j) {
            for(int k = max(1, j-sz[u]); k <= sz[v] && k < j; ++k) {
                dp[u][j] = max(dp[u][j], dp[u][j-k] + dp[v][k]);
            }
        }
        sz[u] += sz[v];
    }
}

int solve(double x) {
    for(int i = 0; i <= n; ++i) for(int j = m+1; ~j; --j) dp[i][j] = -1e9;
    dp[0][1] = 0;
    dfs(0,x);
    return dp[0][m+1] >= 0;
}

int main() {
    while(~scanf("%d%d",&m,&n)) {
        memset(first,-1,sizeof(first));
        tot = 0;
        for(int i = 1; i <= n; ++i) {
            int a, b, c;
            scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
            add(c,i,a,b);
        }
        double l = 0.0, r = 10000, mid;
        while(r-l > 1e-5) {
            mid = (l+r)/2;
            if(solve(mid)) l = mid;
            else r = mid;
        }
        printf("%.3f\n",l);
    }
    return 0;
}

先序遍历优化

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int m, n;
vector<int> e[2505];
int sz[2505], tot, id[2505];
double dp[2505][2505], a[2505], b[2505];

void dfs(int u) {
    sz[u] = 1;
    id[++tot] = u;
    for(auto v : e[u]) dfs(v), sz[u] += sz[v];
}

int solve(double mid) {
    for(int i = 0; i <= tot+1; ++i) for(int j = 0; j <= m; ++j) dp[i][j] = -1e9;
    for(int i = 0; i <= tot+1; ++i) dp[i][0] = 0;
    for(int i = tot; i; --i) {
        int x = id[i];
        for(int j = 1; j <= m; ++j) {
            dp[i][j] = max(dp[i+1][j-1]+b[x]-mid*a[x], dp[i+sz[x]][j]);
        }
    }
    return dp[1][m] >= 0;
}

int main() {
    while(~scanf("%d%d",&m,&n)) {
        ++m;
        for(int i = 0; i <= n; ++i) e[i].clear();
        for(int i = 1; i <= n; ++i) {
            int c;
            scanf("%lf%lf%d",&a[i],&b[i],&c);
            e[c].push_back(i);
        }
        tot = 0;
        dfs(0);
        double l = 0.0, r = 10000, mid;
        while(r-l > 1e-5) {
            mid = (l+r)/2;
            if(solve(mid)) l = mid;
            else r = mid;
        }
        printf("%.3f\n",l);
    }
    return 0;
}