LightOJ 1151 Snakes and Ladders（期望DP+高斯消元）

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题意

求从1到100的期望次数，每次投一个1-6的色子走其显示步数，如果目标点超过100，这次操作不执行。
1到100之间存在单向的隧道可瞬移，需要恰好踩上去才可以

思路

由于存在环路，无法线性递推，需要构造一个方程组求解

对于存在可以瞬移的点a到b
$dp[a]-dp[b]=0$


对于不会空过和传送的点a

$dp[a]=\frac{dp[a+1]+dp[a+2]+dp[a+3]+dp[a+4]+dp[a+5]+dp[a+6]}{6}+1$
即 $6\ast dp[a]-dp[a+1]-dp[a+2]-dp[a+3]-dp[a+4]-dp[a+5]-dp[a+6]=6$


对于目标点可能超过100的点，如96点的期望。

$dp[96]=\frac{dp[97]+dp[98]+dp[99]+dp[100]+dp[96]+dp[96]}{6}+1$
$4\ast dp[96]-dp[97]-dp[98]-dp[99]-dp[100]=6$


还有终点 $dp[100]=0$

构造完矩阵高斯消元一波求出dp[1]即为期望。

代码

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define eps 1e-9
const int maxn = 105;

double mat[maxn][maxn], ans[maxn];
int equ = 100, var = 100;

double abb(double fuck)
{
    return fuck < 0 ? -fuck : fuck;
}

int Gauss()
{
    int i, j, k, col, max_r;
    for(k = 0, col = 0; k < equ && col < var; k++, col++)
    {
        max_r = k;
        for(i = k+1; i < equ; ++i) if(abb(mat[i][col]) > abb(mat[max_r][col])) max_r = i;
        if(abb(mat[max_r][col] < eps)) return 0;
        if(k != max_r)
        {
            for(j = col; j < var; ++j) swap(mat[k][j], mat[max_r][j]);
            swap(ans[k],ans[max_r]);
        }
        ans[k] /= mat[k][col];
        for(j = col+1; j < var; ++j) mat[k][j] /= mat[k][col];
        mat[k][col] = 1;
        for(i = 0; i < equ; ++i)
        {
            if(i != k)
            {
                ans[i] -= ans[k]*mat[i][col];
                for(j = col+1; j < var; ++j) mat[i][j] -= mat[k][j] * mat[i][col];
                mat[i][col] = 0;
            }
        }
    }
    return 1;
}

int vis[105];

int main()
{
    int t, ca = 1;
    for(scanf("%d",&t); ca <= t; ++ca)
    {
        memset(mat,0,sizeof(mat));
        memset(ans,0,sizeof(ans));
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        int m, a, b;
        scanf("%d",&m);
        while(m--)
        {
            scanf("%d%d",&a,&b);
            vis[a-1] = 1;
            mat[a-1][a-1] = 1.0;
            mat[a-1][b-1] = -1.0;
            ans[a-1] = 0;
        }
        for(int i = 0; i < 94; ++i)
        {
            if(vis[i]) continue;
            mat[i][i] = 6;
            for(int j = 1; j < 7; ++j) mat[i][i+j] = -1;
            ans[i] = 6;
        }
        for(int i = 94; i < 99; ++i)
        {
            if(vis[i]) continue;
            mat[i][i] = 99-i;
            for(int j = i+1; j < 100; ++j) mat[i][j] = -1;
            ans[i] = 6;
        }
        mat[99][99] = 1; ans[99] = 0;
        Gauss();
        printf("Case %d: %.6lf\n",ca,ans[0]);
    }
    return 0;
}