约瑟夫环问题

什么是约瑟夫问题？

所谓约瑟夫问题就是N个人围成一圈，从第一个人开始报数，报M的那个人出局；接着又是M+1那个人开始报数，从1开始报，后面报M的那个人出局；以此循环，直到最后只剩一个人，求这个人的初始下标或者初始排第几位？下图就是10个人，报3的出局的模型！

很多的解答当中都提到了最笨的方式，利用链表来模拟，N个人看作是N个链表节点，节点1指向节点2，节点2指向节点3，……，节点N-1指向节点N，节点N指向节点1，这样就形成了一个环。然后从节点1开始1、2、3……往下报数，每报到M，就把那个节点从环上删除。下一个节点接着从1开始报数。最终链表仅剩一个节点。它就是最终的胜利者。

想想如果这个样子，它的时间复杂度会很大，能到O(NM)，当这两个值非常大的时候，会非常的耗时。

大部分算法题都是可以靠数学来解决的，这个题目毫不例外的可以，这个时候，推出我们的递推公式！

                                    f(N,M)=(f(N-1,M)+M)%N

这个公式的推导比较简单，详细的推导过程参考下面这篇博文，是目前我找到的全网写的最好的。https://blog.youkuaiyun.com/u011500062/article/details/72855826

对于编程的我们来说，我们记住它就好了。对了，这个公式中，f(N,M)表示，N个人报数，每报到M时杀掉那个人，最终胜利者的编号；f(N−1,M)表示，N-1个人报数，每报到M时杀掉那个人，最终胜利者的编号。那么这既然是一个递推公式，它的代码就非常简单了！

def joseph(n,m):
    p = 0
    #for循环从2开始的原因是当为1的时候p本来就是0
    for i in range(2,n+1):
        p = (p + m) % i
    return p  #注意这个p是最后值的下标